Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

     Найдем спектр квадрата функции s(t).

  - используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.

В частном случае (  ) будем иметь:

 . Переходя от   к   и т. к. , комплексное сопряженние  .

  - равенство Парсеваля.

  - спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала.

Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:

  - при симметричной 

Примеры. Спектр Гауссова (колокольного) импульса

 ,   -¥ < t < ¥,   а - условная половина длительности на уровне 0,606.

 .

Произведем преобразование в показателях степени:

  

где d - определяется из условия:

  откуда 

 .

При d - конечном   т. к.  .

Тогда   т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму:     ^.

Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим  при среднеквадратичном их определении.

Спектр d-функции

 .

В качестве d-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

Свойства d-функции

1)     - фильтрующее свойство.

2)   Четность 

3)   Нормировка 

Спектральная плотность

 .

При t₀ = 0,    ,

при t₀ ¹ 0,   .

  - это спектральное определение d-функции.

Аналогично   - определение d-функции в частотной области.

Спектральная плотность гармонического колебания

Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функцииs(t) является ее абсолютная интегрируемость    Применениеd-функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций.

     Пусть   Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.

Произведем замену  .

Но   тогда

 .

     Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w₀.

     В частности, для постоянного напряжения w₀ = 0,   

2.4. Корреляционный анализ детерминированных сигналов

     Корреляционный анализ - это анализ временной зависимости сигналов.

Взаимно-корреляционная функция

     Для оценки степени связи во времени между двумя различными сигналами   и   используется взаимно-корреляционная функция ВКФ.  

Найдем спектральную плотность ВКФ. Для этого рассмотрим сначала спектральную плотность произведения двух функций  Каждой из функций сомножителей соответствуют спектральные плотности   и  Согласно теореме о спектральной плотности произведения двух функций,

С другой стороны, согласно общей формуле определения спектральной плотности 

Положим в обеих формулах w = 0, получим:

Итак, согласно общему интегральному представлению спектра сигнала спектральная плотность для ВКФ равна произведению спектральной плотности одной функции на сопряженную спектральную плотность другой.

Автокорреляционная функция сигнала (АКФ)

     АКФ - это степень связи сигнала s(t) с его копией, сдвинутой на величину t.

 ,  при t = 0 

Максимальное значение автокорреляционной функции (при t = 0) равно энергии сигнала, т. к. сигнал полностью коррелирован сам с собой. Полагая в преобразовании Фурье взаимнокорреляционной функции    получим:  ,

При t = 0 получим равенство Парсеваля  .

     Итак, в частотной области имеется две характеристики сигнала:спектральная плотность и спектральная плотность энергии.

     Спектральной плотности  , содержащей полную информацию о сигнале, соответствует в преобразовании Фурье сам сигнал s(t). Спектральной плотности энергии сигнала  , лишенной фазовой информации, в преобразовании Фурье соответствует автокорреляционная функция сигнала  .

     Для периодических функций энергия бесконечна, поэтому автокорреляционная функция определяется путем усреднения по периоду:

  - средняя мощность сигнала.

В более общем случае не обязательно периодического, но с бесконечной полной энергией сигнала принимают:

 .

Фурье образом такой автокорреляционной функции будет спектральная плотность мощности W(w), что видно из соотношения . Формально 

     Однако практически спектральная плотность мощности определяется через функцию автокорреляции 

Пример. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса

  при