Распределение мощности в спектре периодического сигнала

     Под функцией s(t) будем понимать электрическое напряжение на резисторе 1 Ом. Энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе за период равна  , средняя мощность - 

Подставляя сюда разложение s(t) (2.3) и учитывая, что вследствие ортогональности интегралы от смешанных произведений равны нулю и остаются только интегралы от квадратов членов ряда, получим

Здесь использовано 

Средняя мощность сигнала равна сумме мощностей его спектральных составляющих, выделяемых в отдельности. Она не зависит от сдвига фаз отдельных гармоник.

Спектры простейших периодических сигналов

а) Прямоугольное колебание (меандр)

     Для нечетной функции s(t)= -s(-t) обращаются в ноль все коэффициенты a_n.

          b_n = 0 для четных n = 0,2,4...

  для нечетных n = 1,3,5...

б) Последовательность униполярных прямоугольных импульсов

  b_n = 0 - четная функция.

  ;

Чем меньше длительность импульса, тем шире спектр.

2.3. Спектры непериодических сигналов

     Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t₁t₂. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t₁t₂, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:

     Полученный ряд на участке t₁t₂ будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t₁t₂, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим

     

     где

  - спектральная плотность сигнала s(t).

Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.

     Если  , то   - модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.

  - фазово-частотная характеристика.

Необходимое условие существования спектральной плотности

Пример. Спектр прямоугольного сигнала

Согласно формуле Эйлера 

  - площадь под импульсом.

Свойства преобразования Фурье

а) Сдвиг сигнала во времени s₂(t)=s₁(t-t₀).

 

Сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀ приводит к сдвигу фазы спектра на±wt₀. Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.

б) Сжатие и расширение сигнала s₂(t)=s₁(nt).

При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что  где  

 .

В реальности это проявление принципа неопределенности:      При            при несреднеквадратичном определении  и  .

в) Дифференцирование и интегрирование сигнала

  

Аналогично спектральная плотность интегра  ла   равна

г) Сложение сигналов (линейность преобразования)

  - из-за линейности операции интегрирования.

д) Спектр произведения двух функций 

Изменяем порядок интегрирования:

Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем  ).

     Аналогично можно показать, что свертке двух функций  соответствует спектр

  являющийся произведением исходных спектров.

е) Взаимная обратимость s(t) и  .

 ;    

Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для   можно поменять знак в экспоненте   Тогда, если по функциональной зависимости   то