Соединения четырехполюсников. Матричная запись уравнений

Уравнения четырехполюсника в матричной форме имеют вид:

  ;     и др.

Матричная запись оказывается целесообразной при анализе различных соединений четырехполюсников.

Каскадное соединение

Здесь выходные значения сигнала для первого четырехполюсника являются входными для второго. Происходит умножение матриц:

 .

     При каскадном соединении симметричных четырехполюсников складываются постоянные передачи  . При одинаковых четырехполюсниках  .

Параллельное соединение

При параллельном соединении складываются токи, следовательно, суммируются “Y”-матрицы:

Последовательное соединение

Здесь складываются напряжения, следовательно, складываются “Z”-матрицы.

3.8. Передаточная функция и импульсная характеристика цепи

В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартно и уже учтено в схеме четырехполюсника.

     Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе:  , где  – фазово-частотная характеристика,   -амплитудно-частотная характеристика цепи.

     Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени d-функций d(t). Реакцией цепи на действие сигнала в виде d-функций являетсяимпульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция.   при  . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.

     Экспериментально импульсную характеристику можно определить подавая на вход короткий импульс площадью единица и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

     Так как независимый параметр, связывающий  напряжения на выходе и входе цепи, может быть только один, то между импульсной характеристикой и передаточной функцией имеется связь.

     Пусть на вход подается сигнал в виде d-функции   со спектральной плотностью  . На выходе цепи будет импульсная характеристика  , при этом все спектральные составляющие входного сигнала умножаются на передаточную функцию соответствующей частоты:  . Таким образом, импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны преобразованием Фурье:

 . Иногда вводят так называемую переходную характеристику цепи h(t), являющуюся откликом на сигнал, называемый единичным скачком:

I(t) = 1 при t ³ 0 I(t) = 0 при t < 0

при этом  ,   h(t) = 0   при t < 0.

     Ввиду связи между передаточной функцией и импульсной характеристикой, на передаточную функцию накладываются ограничения:

    · Условие, что g(t) должна быть вещественной, приводит к требованию, что  , т. е. модуль передаточной функции (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.

    · Условие, что при t < 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .

     Например, рассмотрим идеальный фильтр низких частот ФНЧ с передаточной функцией  .

Здесь интеграл в критерии Пэли-Винера расходится, как и для любой , обращающейся в нуль на конечном отрезке оси частот.

     Импульсная характеристика такого фильтра есть

 ,

g(t) не равна нулю при t < 0, тем сильнее, чем меньше время задержки  , которое определяет ее угол наклона  . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших  .