3.5. Преобразование Лапласа
Преобразование Фурье обладает следующими недостатками:
1. Оно допустимо только для абсолютно-интегрируемых функций
.
Для этого S(t)
должно экспоненциально спадать к
бесконечности.
2. Обратное преобразование Фурье трудно интегрируемо в частотной области.
Анализ
прохождения сигналов через линейные
цепи значительно облегчается при
использовании преобразования Лапласа,
в котором обратное преобразование
осуществляется методом контурного
интегрирования на плоскости комплексной
переменной 
,
где
-
некоторое действительное положительное
число, выбираемое так, чтобы функция 
была
абсолютно интегрируема, т. е.
.
Сравним с преобразованием Фурье:
Как
видно, формально переход от преобразования
Фурье к преобразованию Лапласа
осуществляется заменой 
,
при этом рассматривают только положительные
значения времени t. За счет множителя 
под
интегралом в выражении для S(P) преобразование
Лапласа возможно и для неинтегрируемых
функций s(t). Обратное преобразование
Лапласа легко осуществляется с помощью
вычетов:
.
Если функция 
имеет
в точке 
полюс
кратности m,
то
.
В
частности, если 
и
имеет полюс первого порядка
m =
1, то 
.
Свойства преобразования Лапласа аналогичны свойствам преобразования Фурье.
В
частности, если 
,
то 
;
при 
,
при 
.
Таким образом, при дифференцировании функций и нулевых начальных условий образ умножается на Р, при интегрировании – делится на Р.
Некоторые
примеры ( 
)
3.6. Расчет линейных цепей при несинусоидальных эдс и переходных процессах
При несинусоидальных, но периодических ЭДС, действующих в ветвях, их раскладывают в ряд Фурье:
.
Затем
производится расчет комплексных
сопротивлений ветвей для каждой
гармоники: 
.
Далее
производится расчет уже рассмотренными
методами всех узловых напряжений и
токов в ветвях для каждой гармоники в
отдельности: 
Здесь
«m» означает амплитудное значение
напряжения и тока.
Реальные мгновенные значения токов и напряжений вследствие верности принципа суперпозиции для линейных цепей будут равны сумме значений всех гармоник:
При
импульсных сигналах или переходных
процессах в цепях (например, включение
и выключение ЭДС) спектр таких сигналов
сплошной, определяемый спектральной
плотностью. В этом случае возможно
находить спектральную плотность
напряжений в узлах и токов в ветвях при
известной зависимости комплексных
сопротивлений ветвей от частоты и затем
с помощью обратного преобразования
Фурье определять временные зависимости
токов и напряжений. Здесь замена
преобразования Фурье преобразованием
Лапласа (так называемый операторный
метод) позволяет расширить область
временной зависимости сигналов (или
ЭДС) на абсолютно не интегрируемые
функции с помощью вычетов. Рассмотрим
сопротивление элементов цепи в операторной
форме: 
.
а) Активное сопротивление
б) Индуктивность
,
здесь Z(P)
= PL,
но появляется дополнительная ЭДС
«LI(0)»,
определяемая запасенной энергией
магнитного поля в индуктивности.
в) Емкость
,
,
,
здесь 
,
но также появилась дополнительная ЭДС
« 
»
за счет запасенной энергии электрического
поля в конденсаторе.
Таким
образом, операторное сопротивление
элементов совпадает с комплексным
сопротивлением при замене 
на 
,
но при ненулевых начальных значениях
токов и напряжений кроме внешних
операторных ЭДС необходимо учитывать
и внутренние ЭДС: 
.
Для относительно простых цепей возможно непосредственное решение интегро-дифференциальных уравнений, получаемых при применении I и II законов Кирхгофа или уравнений для контурных токов и узловых напряжений (так называемый классический метод).
Рассмотрим примеры расчетов переходных процессов в цепях.