Дискретизация по критерию наибольшего отклонения. Адаптивная дискретизация

     Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике часто не ставится. Обычно указывается допустимое значение погрешности   В качестве базисных функций выбирают полиномы (степенные функции нулевого (ступенчатая), первого (линейная) и, реже, второго (параболическая) порядка). Аппроксимацию проводят на каждом шаге дискретизации, которые выбирают из условия допустимой погрешности. Вследствие того, что изменение функции   различно в различные моменты времени, шаг дискретизации может быть различным, обеспечивая равномерную погрешность на каждом шаге. Такой тип дискретизации называетсяадаптивный. Рассмотрим адаптивную дискретизацию при степенной аппроксимации Тейлора:

Пример 1. Аппроксимация полиномом нулевой степени (ступенчатая)

при  ,    ,   

На практике производную не определяют, а интервал дискретизации заканчивают при достижении максимального отклонения   затем сигнал скачком увеличивают до значения функции   в момент окончания шага дискретизации. При восстановлении между отсчетами сигнал равен предыдущему отсчету.

Пример 2. Адаптивная аппроксимация степенным полиномом первой степени (линейная).

На момент   каждого интервала аппроксимации принимают . Момент очередного отсчета определяется равенством  .

Восстанавливают сигнал прямолинейным соединением отсчета.

Дискретное преобразование Фурье

     Дискретизированный сигнал можно рассматривать как результат умножения первоначального непрерывного сигнала на ряд единичных импульсов (d-функций).

 ,                        (1)

- общее число отсчетов;

  - отсчет, т. е. значение   при  .

При таком рассмотрении площадь отсчета равна значению   При этом существенно упрощается нахождение спектральной плотности дискретного сигнала   непосредственно по совокупности отсчетов . Действительно, применив преобразование Фурье к (1), получим:

  или

                                                                   (2)

     Спектр   дискретизированного сигнала есть периодическая последовательность спектров   исходного непрерывного сигнала , сдвинутых относительно друг друга на   При выборе интервала дискретизации, согласно теореме Котельникова  , наложения спектров этой периодической последовательности не происходит.

     Для цифровой обработки сигналов требуется дискретизация не только во временной, но и в частотной области в основном интервале

  (либо  ).

Полагая в (2)  , где  , получим:

                                                              (3)

Здесь   (либо  ) (=0 может не быть, если - четное). Выражение (3) называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Дискретизация спектра с интервалом   приводит к периодическому повторению сигнала с периодом  . Для обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) можно записать:

                                                     (4) либо .

     Верность выражения (4) доказывается непосредственной подстановкой в него   из (3) с заменой индекса суммирования k на m, сменой порядка суммирования и учетом того, что сумма   равна приk = m и равна нулю при k ¹ m как сумма векторов, которые делят окружность единичного вектора на равные дуги

Обычно DT выбирают меньше, чем  , увеличивая число отсчетов . При этом крайние значения   вблизи   близки к нулю, что облегчает выделение фильтрами основного интервала  . Длительность импульсов   должна быть много меньше, чем  , чтобы получилась полная периодичность спектра   с периодом  Площадь импульса должна быть пропорциональна отсчету.

     Отметим, что выражение (3) ДПФ при значениях вне основного интервала дает периодическое повторение дискретного спектра, а выражение (4) ОДПФ за пределами временного интервала исходного импульса дает его периодическое продолжение. Аппарат дискретного преобразования Фурье широко используется в математическом моделировании и численном математическом преобразовании.

Отметим, что смена знака w  в (2) или номера в (3) не изменяет модуль , а изменяет только знак фазы, поэтому в (3) достаточно ограничиться номерами  . Равенство (4) тоже можно упростить: , т. к. действительные части у членов с положительным и отрицательным n совпадают, а мнимые имеют противоположный знак.

Быстрое преобразование Фурье

     Рассмотрим дискретное прямое преобразование Фурье.

 ,                                                                               (1)

= 0, 1, ..., -1;   k = 0, 1, ..., -1;   j - мнимая единица.

  - отсчеты сигнала через интервал времени 

  - отсчеты спектральной плотности через интервал частоты

- число отсчетов.

     Из (1) следует, что для определения одного спектрального коэффициента   требуется умножений, вычислений экспонент и сложений, а на все коэффициентов требуется ² умножений, сложений и вычислений экспонент. Алгоритм быстрого преобразования Фурье позволяет уменьшить число таких операций до   

При = 2¹⁰ = 1024 машинное время уменьшается в 100 раз.

     Пусть = 2^p (p - целое число). Разобьем последовательность (1) на сумму двух последовательностей, составленных из четных и нечетных номеров. 

                   (2)

     Однако вычисления по (2) можно ограничить номером  , т. к. функции   и   являются периодическими с периодом   из-за большего (в два раза) интервала отсчетов между ними. Итак, при  будем иметь:

  т.к.

Аналогично     

 .                                                       (3)

Теперь снова разобьем суммы   и   с четными и нечетными новыми номерами слагаемых:

 ;

    = 0, 1, ..., 2^P-2-1.

Далее суммы            снова можно разбить. Получим:

= 0, 1, ..., 2^P-3-1; для номеров +2^P-3 знаки перед экспонентами заменяют на минус.

  остальным членам соответствуют следующие отсчеты s_k:

      

           k=0,1,...2^P-3-1.

     Таким образом, мы имеем все время удваивающееся число сумм X,Y для одного , однако число членов в этих суммах все время в два раза уменьшается и, кроме того, в два раза уменьшается число номеров , так что общее число сумм      остается тем же, но уменьшается число членов в каждой сумме.

     Продолжая такое разбиение l раз, будем иметь:

  ;

                                                     (4)

 .

где         (5)

l = 1, 2, ..., p; i = 1, 2, ..., 2^l-2 в (4) и i = 1, 2, ..., 2^l-1 в (5).

n = 0, 1, ..., 2^P-l-1. При l = p получим = 0, k = 0.

    i = 1, 2, ..., 2^P-1.

     Итак, можно предложить следующий алгоритм быстрого преобразования Фурье.

     Задано = 2^P отсчетов сигнала  , i = 0, 1, 2, ..., -1, l = p, = 0

for i = 1 to N/2     , end.

* for n = 0 to n = 2^P-l-1.

   for i = 1 to i = 2^l-2.

   

   

   

   

        end, end.

   l=l-1, if l>1 go to *, else for n=0 to  .

   

    , end.