Спектральный анализ случайных сигналов

     Случайную реализацию х(t) можно разложить по детерминированным ортогональным функциям   Коэффициенты такого разложения с_n будут случайными величинами. Для гармонического разложения       Ввиду случайности спектральной плотности   и равенства нулю ее среднего значения при усреднении по всем реализациям при  (ввиду случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях) она не используется для характеристики случайного процесса. Поэтому для случайного процесса x(t) вводится понятие спектральной плотности мощности, связанной с автокорреляционной функцией преобразованием Фурье (соотношение Винера - Хинчина).

        .

Спектральная плотность мощности определяется из последнего соотношения по функции корреляции определяемой для эргодического процесса в пределах одной реализации:

При нулевом среднем значении   имеем:

Чем шире энергетический спектр случайного процесса, тем быстрее меняется x(t) и меньше время корреляции, и наоборот.

Примеры случайных процессов

1. Постоянное напряжение случайного уровня Ак

При равновероятности уровня   что соответствует условию   Итак, процесс стационарен.

 ;      - процесс не эргодичен.

2. Гармоническое колебание со случайной фазой

 , т. к. каждому х_к соответствует два значения ±q_к.

       

       

  - процесс стационарный и эргодический.

3. Белый шум

     Это стационарный процесс с равномерным на всех частотах спектром мощности  .

     Функция корреляции  , т. е. равна нулю всюду, кроме t = 0, где она бесконечна. Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика. Временная реализациях(t) белого шума имеет игольчатую структуру с бесконечно тонкими выбросами обоих знаков. Многие помехи в технике связи, вычтехнике и др. обычно рассматривают как белый шум, если ширина частот помехи превышает полосу частот пропускания аппаратуры, а амплитуды частот примерно постоянны. К таким помехам относят флуктуационные шумы, помехи в многоканальных системах связи и др.

2.7. Дискретизация непрерывных сигналов

     При передаче непрерывных сообщений по системам связи cиспользованием импульсной модуляции или кодирования возникает необходимость дискретизации сообщений по времени. В последнее время необходимость дискретизации непрерывных сигналов объясняется развитием методов квантования, дискретного анализа формы сигналов, развитием цифровой и вычислительной техники.

Сущность дискретизации заключается в том, что непрерывность во времени функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитуды которых (координаты) ск в общем случае определяются с помощью

дискретных весовых функций x_к(t)  .

     Воспроизведение непрерывной функции по ее дискретным координатам производится с помощью системы базисных функций   Иногда весовые и базисные функции принимают одинаковыми   Ввиду сложности определения координатных функций более широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений  , называемых выборками, или отсчетами. Роль весовых функций в этом случае играютd-функции  , Dt - шаг дискретизации (может быть неравномерным).  . Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы было возможно восстановление непрерывной функции по ее отсчетам с допустимой точностью.

Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

     Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано академиком В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой F_max полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал  » Кроме того, теорема Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала  по его отсчетам.

Доказательство

  причем   при          (1)

Разложим функцию   в частотной области на конечном интервале  (с периодом  ) в комплексный ряд Фурье :

 где                                                                (2)

                                                       (3)

Сравнивая интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при  , т. е.   тогда

                                                                             (4)

Подставляем (4) в (2), а затем в (1)

  

т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у .

                                 (5)

Максимальные значения членов ряда будут при   и равны  , при этом все остальные члены ряда равны нулю, т. е. при   функция s(t) точно передается рядом. Во все другие моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов, чтобы передать s(t)точно.

     Представление сигнала в виде ряда Котельникова (5) является частным случаем разложения  . Роль коэффициента  выполняют отсчеты   Базисными являются функции вида  Они называются функциями отсчетов. Функции отсчетов ортогональны, т. к.

Спектральная плотность функции отсчета на частотной шкале есть прямоугольник шириной   (идеальный фильтр н.ч.).      Теорема Котельникова распространяется на непрерывный стационарный случайный процесс с ограниченным спектром

Такой процесс представляется (заменяется) суммой квазидетерминированных процессов, где роль ортогональных детерминированных функций выполняют функции отсчета, а случайных коэффициентов - величины выборок:

 , где 

Т. о., при указанных ограничениях случайный процесс полностью определяется счетным множеством случайных величин - координат процесса.

     Практическое осуществление дискретизации сигнала   рядом Котельникова и дальнейшее его восстановление сводится к следующему. На передающей стороне через интервалы   определяются мгновенные значения   сигнала и передаются в канал связи в виде d-импульсов с площадью, равной отсчету   На приемной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр нижних частот   При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал 

     Искажения восстановленного (по Котельникову) сигнала могут происходить по следующим причинам. Реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Дискретизация его с интервалом   ограничивает спектр   и, следовательно, искажает воспроизведение сигнала. С другой стороны, и при передаче непрерывного сигнала вследствие ограничения полосы пропускания аппаратуры сигнал искажается. Однако при дискретизации появляется дополнительное искажение за счет конечности числа отсчетов за ограниченное время длительности сигнала, в то время как их должно быть бесконечно много, т. к. ограничению спектра сигнала соответствует увеличение его длительности до бесконечности. Такое двойное искажение хотя и может частично компенсироваться, но создает трудности для теоретического анализа погрешности передачи.

     Несмотря на невозможность точного воспроизведения сигнала ограниченной длительности (чем более короткий сигнал, тем больше ошибка воспроизведения), дискретизация и восстановление по Котельникову используется весьма широко при преобразовании сигнала в цифровую форму.

Пример 1. Аппроксимировать прямоугольный импульс длительностью , амплитудой U рядом Котельникова, ограничивая его спектр частотой  Затем восстановить сигнал по отсчетам Котельникова.

В нашем случае  и импульс аппроксимируется тремя отсчетами в моменты   0, .

В моменты отсчетов значения аппроксимаций совпадают с отсчетами.

Найдем значения сигналов в промежутках.

а)  ;

б) 

в)  ;

 ;

г)  ;    

д)      

Пример 2. Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотой   кГц. Определить интервал Dtмежду отсчетами этого сигнала, необходимый для неискаженного воспроизведения сигнала при передаче его дискретным способом.