Бесконечно малая величина
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
19
Основные правила дифференцирования. Сумма.
Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х0 обозначаются для краткости так: u(х0) = u, v(х0) = v, u'(х0) = u', v'(х0)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке и
(u+v)' = u' + v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных. 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х0+Δx)+ v(х0+Δx) – (u(х0)+v(х0)) = (u(х0+Δx)-u(х0)) + (v(х0+Δx)-v(х0)) = Δu + Δv 2)
3) Функции u и v дифференцируемы в точке х0, т. е. при Δх→0
Тогда
при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)' = u'+v’ Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке: Δf→0 при Δx→0, т. е.
f(х0 + Δх)→f (х0) при Δx→0
. Действительно,
при Δх→0, так как
Итак, Δf→0 при Δx→0, т. е. для дифференцируемых функций f (х0 + Δx)→f (х0) при Δх→0.
|
20
Пусть функция задана на некотором интервале . Если найдётся такая функция , что при всех имеет место равенство
то функция называется первообразной для функции .
Пример 1.1 Рассмотрим функцию на всей числовой оси -- на интервале . Тогда функция -- это первообразная для на .
Для доказательства найдём производную от :
Поскольку равенство верно при всех , то -- первообразная для на .
Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:
Назовём функцию первообразной для , если при всех выполнено равенство .При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2- х1), т.к. f`(с)=0, то f(х2)= f(х1)
21
Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
-
.
-
(или ).