30. Опираясь на алгоритм графического метода, постройте злп с

целевой функцией f(,)=, в которой существует бесконечное множество точек максимума и целевая функция не ограничена снизу. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и задайте системой неравенств.

z=x₁+x₂->max

Y

n x

31.Опираясь на алгоритм графического метода, постройте злп на

минимум с целевой функцией f(,)=-, в оптимальным множест-

вом является луч. Допустимую область задачи изобразите на чертеже и за-

дайте системой неравенств.

f(,)=-

;

32. Каковы основные предпосылки для применения симплекс-

метода для решения задачи линейного программирования?

каноническая форма уравнений в виде При этом «Если ограничения исходной задачи содержат единичную матрицу порядка М, то при неотрицательности правых частей уравнения определяется первоначальный план, из которого с помощью преобразований Жордана над симплекс-таблицами находим оптимальный план.” т.е если дополнительно то система ограничений содержит единичную матрицу всегда и первоначальный план имеет вид (при этом предполагается неотрицательность решений). Логично предположить, что нарушение любого из перечисленных условий А) неотрицательность переменных, неотрицательности вектора B или замена неравенства <= на >= хотя бы в одном уравнении приведут к отсутствию нахождения простого начального плана и как следствие применять другие разновидности метода – т.н. двухфазный или M-метод При котором хотя бы в одно уравнение добавляется не 1 базисная а 2 переменные т.н искусственная переменная, А в качестве критерия вспомогательный критерий, т.е в симплекс таблице становится на 1 строку больше чем обычно и дальше решается в 2 этапа….

33. 34. Изложите и обоснуйте алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом.

I. Подготовительный этап.

1) Привести ЗЛП к каноническому виду.

2) Разделить переменные на базисные и свободные, так, чтобы базисное решение было неотрицательным (допустимое или опорное базисное решение)

x₁, x₂,…,x_r - базисные переменные (Бп)

x_r+1, x_r+2,…,x_n- свободные переменные

b_i≥0, i=1,2,…,r - свободные члены (Сч)

3) Исключить из целевой функции Бп и записать её в виде:

Коэффициентыc_i, i=1,2,..,n - оценки соответствующих переменных x_r+1, x_r+2,…,x_n

На допустимом базисном решении целевая функция принимает значение

Начальная симплекс-таблица

Таблица соответствует системе уравнений с присоединенной целевой функцией. Последняя строка - оценочная строка.

Пусть zmax. Цель симплекс-преобразований состоит в нахождении новых допустимых базисных решений, на которых zувеличивается( не уменьшается).

Алгоритм симплексных преобразований.

а) Если в оценочной строкехотя бы однаc_p< 0, а в p-ом разрешающем столбце x_p хотя бы один элемент a_kp> 0, то решение может быть улучшено.

При решении ЗЛП zminразрешающий столбец выбирается по положительной оценке c_p>0 в последней строке

Среди a_kp> 0 в качестве разрешающего элемента выбирается тот, которому отвечает минимальное отношение a_ip = min{ b_i/a_ip}.

Если таких несколько, то разрешающий из них. Напримерa_qp.

Далее над таблицей проводятся элементарные преобразования (Гаусс): переменная x_p становится базисной, а x_q – свободной.

На новом базисном решенииz значение целевой функции не уменьшается(для max)

Cнова анализируется оценочная строка.

б) Если в оценочной строке c_p 0 p, то оптимальное решение найдено.

в) Если в оценочной строкеc_p< 0, а в p- м разрешающем столбце x_p нет положительных оценок, т.е. a_kp 0 k, то ЗЛП не имеет решения.

В таком случае пишут Z_max=+∞.

г) Если в оценочной строке c_p 0 p, но при этом у свободных переменных c_k = 0, то у ЗЛП  хотя бы одно альтернативное решение.

Чтобы его получить, следует сделать еще одно преобразование, выбрав разрешающий столбец с нулевой оценкой.

zmin. Цель симплекс-преобразований состоит в нахождении новых допустимых базисных решений, на которых zуменьшается ( не увеличивается).

а) Если в оценочной строкехотя бы однаc_p> 0, а в p-ом разрешающем столбце x_p хотя бы один элемент a_kp> 0, то решение может быть улучшено.

Т.е. при решении ЗЛП zminразрешающий столбец выбирается по положительной оценке c_p>0 в последней строке

Среди a_kp> 0 в качестве разрешающего элемента выбирается тот, которому отвечает минимальное отношение a_ip = min{ b_i/a_ip}.

Если таких несколько, то разрешающий из них. Напримерa_qp.

Далее над таблицей проводятся элементарные преобразования (Гаусс): переменнаяx_p становится базисной, а x_q – свободной.

На новом базисном решенииz значение целевой функции не увеличивается (для min).

Cнова анализируется оценочная строка.

б) Если в оценочной строке c_p≤ 0 p, то оптимальное решение найдено.

в) Если в оценочной строке положительное числоc_p> 0, а в p- м разрешающем столбце x_pнет положительных элементов, т.е. a_kp≥ 0 k,то ЗЛП не имеет решения. В таком случае пишут Z_min=-∞.

г) Если в оценочной строке нет положительных оценок, т.е. c_p≤ 0 p, но при этом у свободных переменных c_k = 0, то у ЗЛП  хотя бы одно альтернативное решение.

Чтобы его получить, следует сделать еще одно преобразование, выбрав разрешающий столбец с нулевой оценкой.