6. Дайте определение и приведите пример продуктивной матрицы, обоснуйте продуктивность приведённой матрицы.

Матрица A≥0 называется продуктивной, если для любого вектора≥0 существует решение ≥0 уравнения

Пример:

Данная матрица продуктивна по первому критерию продуктивности.

Первый критерий продуктивности: Матрица A≥0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

В нашем случае: (=

Мы видим, что матрица неотрицательна. Следовательно, продуктивна.

№7 Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора ≥ 0 существует решение ≥ 0 уравнения Леонтьева = А, или (Е-А) = .

Пример. А = . Первая отрасль не является рентабельной, т.к. сумма в первом столбце больше 1 (0,4+0,5+0,2>1)

Она является продуктивной. Е – А = , |E-A|=0,227,

(Е-А)^-1 =1/227 , т.е. матрица Е определена и Е≥0

№8 Матрица А³0 продуктивна тогда и только тогда, когда $ H=(Е-А)^-1 ³0

Доказательство (взял у Попова из лекций, больше нигде не нашел)

1) $ H=(Е-А)^-1 ³0 => $ X=(Е-А)^-1 Y ³0

2) Пусть A – продуктивная матрица.

Рассмотрим системы вида (Е-А)X=E₁ , (Е-А)X=E₂ ...... (Е-А)X=E_n

, где 1 стоит на k месте

Т.к A – продуктивная матрица => $ C_k ³ 0:

(Е-А) C₁=E₁ , (Е-А) C₂=E₂ ...... (Е-А) C_n=E_n

Составим матрицу C=(C₁ , C₂ , ....., C_n )

(Е-А) C=E => $ H=(Е-А)^-1 =C ³0

№9 Теорема

Матрица A³0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство (тоже у Попова)

Пусть матрица A— продуктивна. Тогда " Y³0 $ X³0 – решение уравнения X=AX+Y .

Пусть Y>0, тогда, очевидно, X>0.

Умножим равенство слева на левый вектор Фробениуса:

=>

10. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрица-

тельной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

Определение. Число a>0 называется запасом продуктивности матрицы A, если продуктивны матрицы kA для 1k<(1+a), а матрица (1+a)A не продуктивна.

Пусть - запас продуктивности матрицы А и 1<<1+.Тогда *<1(условие продуктивности матрицы *А) и (1+)*1(матрица (1+)*А непродуктивна).Если бы неравенство было строгим, то можно было бы взять число <1+ так, что *>1, что противоречит продуктивности матрицы *А в силу второго критерия продуктивности.

Обратно, если верно равенство (1+)*=1, то для числа 1<<1+ верно =*<(1+*=1 и =(1+*=1, то есть матрица *А продуктивна, а матрица не продуктивна.

Итак, (1+)*=1.Значит, -1.

11. Общая постановка задачи оптимизации. Допустимое множество

и целевая функция. Приведите примеры.

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов x, образующих множества Χ, найти такой элемент x* , который доставляет минимальное значение f(x*) заданной функции f(x).

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией. Каждая точка x в n-мерном пространстве переменных x1, ..., х, в которой выполняются ограничения задачи, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называется допустимой областью G . Будем считать, что это множество не пусто. Решением задачи считается допустимая точка х*, в которой целевая функция f(х) достигает своего минимального значения. Вектор х* называют оптимальным. Если целевая функция f(x) и ограничения задачи представляют собой линейные функции независимых переменных х1, ..., хn, то соответствующая задача является задачей линейного программировании, в противном случае - задачей нелинейного программирования.

Примеры: задача оптимального использования ресурсов, транспортная задача, задача о назначениях, составление оптимального портфеля ценных бумаг.

12. Общая постановка задачи математического программирования.

Оптимальное решение и оптимальное множество. Тривиальные и нетриви-

альные ограничения. Приведите примеры.

Математическое программирование — это раздел высшей математики, посвященный решению экстремальных задач для функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные.

Построение математической модели экономической задачи:

1. выбор переменных задачи;

2. составление системы ограничений;

3. выбор целевой функции.

Переменные задачи - величины Х= (х1,х2,...хn), характеризующие экономический процесс.

Система ограничений - система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи. Следует из экономических условий.

Целевая функция - функция переменных задачи, экстремум которой требуется найти.

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

Ограничения : нелинейное, линейное, динамическое

Примеры задач: Задача оптимального использования ресурсов, Задача о составлении рациона питания (о диете),Максимальный поток, Транспортная задача, Задача о назначениях, Составление оптимального портфеля ценных бумаг (задача о банке).

13. Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции) (линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где  - заданные числа. Общую постановку задачи линейного программирования можно записать в более компактной форме, если воспользоваться следующим правилом. Правило сокращенного суммирования. Для обозначения суммы чисел : принята такая запись: где ∑ - знак суммирования, а k - индекс суммирования. Это обозначение очень удобно:

А вот как выглядит запись общей задачи линейного программирования:

Целевая функция, функция, экстремальное значение которой ищется на допустимом множестве в задачах математического программирования.

Допустимое множество задачи это множество на котором выполняются все ее ограничения.

Оптимальное решение ЗЛП – значение искомых переменных удовлетворяющее условию оптимальности.

Оптимальное множество – множество решений ЗЛП удовлетворяющих условию оптимальности.