1. Числом Фробениуса неотрицательной матрицы называется наибольшее собственное значение этой матрицы. Он удолетворяет условию:

Вектором Фробениуса называется собственный вектор, соответствующий числу Фробениуса. Ищем из условия:

2) Теорема (Фробениуса-Перрона). У " матрицы А³0 $ собственное значение (называемое числом Фробениуса) такое, что

- вектор Фробениуса.

Причем, если А>0, то и

Теорема: есть вектор Фробениуса A.

Доказательство: пусть

3) Теорема

Число Фробениуса A ³ 0 удовлетворяет

Условию: m ≤ ≤ M

Доказательство: Пусть : = 1.

m ≤ ≤ M

4. Запишите структурную таблицу и поясните уравнение межотраслевого баланса для межотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин.

Отрасли	1	2	…	j	…	n	Итого	Конечная продукция	Валовая продукция
1
2
…
i
…
n
Итого
Условно чистая продукция
Валовая продукция

X = АX + Y, (1)

, ≥0

≥0

Вектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов X и Y это соотношение называют также моделью Леонтьева.

5. В чем заключается гипотеза линейности для переменных структурной таблицы межотраслевой экономики? Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева и уравнение линейного межотраслевого баланса (модель Леонтьева).

В. Леонтьев рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины ij = остаются постоянными в течение ряда лет. В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аij хj, где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

х_ij = а_ijх_i (i, j = 1, …, n). (1)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (1) в уравнение баланса х_i = х_i1 + х_i2 + … + х_in + у_i, получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х1, х2,…, хn:

х₁ = а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … а_1nх_n + у₁,

х₂ = а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … а_2nх_n + у₂,

…………………………………..

х_n = а_n1х₁ + а_n2х₂ + … а_nnх_n + у_n,

или, в матричной записи,

X = АX + Y, (2)

, ≥0

≥0

Вектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (2) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов X и Y это соотношение называют также моделью Леонтьева.