3. Методы выделения областей образца с постоянным характером физических свойств.

Кусочно-линейный оператор в своем алгоритме использует области с одинаковым характером свойств. Для использования этого оператора необходимо разбить всю область на такие участки. Самым простейшим вариантом является двумерный случай, когда существует две прямоугольные области с разным характером физических свойств. Такой случай представлен на рисунке 3.1

Рис.3.1 Двумерный случай с прямоугольной областью

Пусть белая область имеет индекс – 1,а серая – 2.

Разбиение производится по обеим координатам. Кроме координат внутренней области, задаем граничные значения.

Аналогично можно определять прямоугольные области в трехмерных объектах.

Рис. 3.2 Разбиение тела на секции по всем координатам

Таким образом, мы получили разбиение по осям. Следующим шагом зададим каждой секции индекс области. Проще всего это реализовать с помощью таблицы, столбцы которой – координаты по оси X, строки – координаты разбиения по Y.

Таблица 3.1 Присвоение индексов секциям.

	X1	X2	X3	X4
Y1	1	1	1	1
Y2	1	2	1	1
Y3	1	2	1	1
Y4	1	1	1	1

Более сложным вариантом является случай, когда область представляет собой фигуру вращения или треугольник.

Рассмотрим разбиение на примере круга. Как и в случае с прямоугольными областями, происходит разбиение по всем осям, но в данном случае будет больше.

Рис. 3.3. Двумерный случай с областью в виде круга

Появляется задача при таком разбиении – определить индекс области в определенной секции на границе внутренней области. Для решения этой проблемы сравнивались площади фигуры в секции и площадь секции.

Рис. 3.4 Разбиение области на сектора

Таким образом, можно выделить области с определенным характером физических свойств.

Аналогичным образом происходит разбиение образца в трехмерном пространстве. По каждой из осей происходит разбиение на области с одинаковым значением параметра. После этого создается таблица со значением индекса в каждой секции.

4. Методика синтеза многомерных кусочных операторов.

В этой главе рассмотрим методику синтеза многомерных кусочных операторов.

Используя одномерный и двумерный операторы, я постарался выделить общую методику построения N-мерного оператора

1. Кусочно-линейный оператор

Для синтеза многомерного кусочно-линейного оператора вначале рассмотрим одномерный оператор.

Одномерный случай:

Методика вывода одномерного кусочно-линейного оператора описана во второй главе, поэтому в этом разделе будут использоваться формулы без их выведения. Исходные данные описаны в таблице 5.1.1:

Таблица 5.1.1 Исходные данные в одномерном случае

X			…
Y			…

Вводим матрицу отношения элементов:

Тогда матрица коэффициентов будет высчитываться следующим образом:

И конечная формула выглядит:

Таким образом, необходимо вычислить матрицу M, инвертировать ее, получить матрицу коэффициентов , подставляем в формулу 2.1.1.

Двумерный случай:

Таблица 5.1.2. Исходные данные двумерного случая

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Для каждой переменной построим матрицу разностей

Матрица значений будет иметь вид:

Искомая матрица коэффициентов для синтеза кусочно-линейных операторов по одной координате может быть получена вычислением выражения:

Получим конечную матрицу коэффициентов путем умножения матрицы на инвертированную матрицу :

Формула для подсчета кусочно-линейного оператора от двух переменных будет выглядеть:

N-мерный случай:

Исходные данные:

Значение функции:

Для каждой переменной рассчитаем матрицу разностей элементов:

Рассчитываем первую матрицу коэффициентов -

Вторая и последующие матрицы будут зависеть от предыдущих матриц: