2. Многомерные нелинейные операторы.

2.1 Обзор кусочно-линейных операторов.

График кусочно-линейного оператора представлен на рисунке 2.1.1. На каждом из участков, функция имеет линейный характер.

Рис.2.1.1 Пример кусочно-линейного оператора

Кусочно-линейный оператор описывается формулой (2.1.1)[2]:

(2.1.1)

Запишем систему уравнений, содержащую известные данные:

Будем считать, что коэффициенты

Проведем замену множителей

С учетом введенных замен и ограничений, получим следующую систему ограничений.

Запишем систему уравнений в матричной форме:

Матрица M будет симметричной относительно главной диагонали. Главная диагональ всегда нулевая.

Для решения системы уравнений можно воспользоваться одним из методов решения системы линейных уравнений:

• Метод Крамера

• Метод Гаусса

• Матричный метод (метод с обратной матрицей)

В данной работе будет использоваться третий метод, по причинам вычислительной простоты и возможности быстрой проверки в любой математической среде.

Рассмотрим случай, при котором коэффициент характеризует неоднородный объект, и зависит от некоторого другого параметра. Примером такого сложного объекта можно считать многослойное тело, у которого коэффициент теплопроводности для разных слоев разный. В этом случае формула 2.1.1 примет вид

(2.1.2)

Где MAT – индекс материала в точке , вычисляемый с помощью кусочно-постоянного оператора, рассматриваемого в следующем параграфе.

2. Обзор кусочно-постоянных операторов

График кусочно-постоянного оператора представлен на рисунке 2.2.1. На каждом участке, имеет постоянное значение, отсюда и название оператора.

Рис.2.2.1 Пример кусочно-постоянного оператора

Кусочно-линейные и кусочно-постоянные операторы позволяют описывать взаимосвязь для кусочно-линейных и кусочно-постоянных зависимостей для большого количества экспериментальных данных. Интерпретацией применения операторов может служить замена таблицы, содержащей данные, полученные в результате эксперимента оператором различного вида (кусочно-линейного, кусочно-постоянного, кусочно-квадратичного, локально сглаженного), который помимо основного своего предназначения – математической интерпретацией табличных данных позволит проводить с этими табличными значениями (отражающими различные физические процессы) операции интегрирования, дифференцирования, локального сглаживания и др.

Для преобразования табличных данных к операторному виду, необходимо выполнить операцию интерполирования. Рассмотрим кусочно-постоянный оператор:

(2.2.1)

Здесь коэффициенты и задают приращение функции и тангенс угла наклона ее постоянных промежутков, — приращение отдельных постоянных участков функции, а — границы постоянных участков функции.

Для выполнения операции синтеза коэффициентов выполним ряд ограничений: будем считать, что коэффициенты и будут равны нулю, так как при интерполяции табличных данных мы имеем дело с набором постоянных участков данных. С учетом ограничений, уравнение (2.2.1) примет вид:

(2.2.2)