8.1.3 Восстановление регрессии функции нескольких переменных

Пусть регрессия у – функция 2 переменных х₁ и х₂, тогда , где будем искать в классе функций:

.

Так как функции х₁, х₂, х₁², х₂² и х₁х₂ линейно независимы, то полностью удовлетворяет условиям для решения системы (8.6) относительно коэффициентов а_i,.

_k, _т) а_т .

  

 

Аналогичным образом можно получить регрессию для функции f(x) еще большей размерности.

8.1.4. Восстановление зависимости самообучающейся модели

Пусть процесс восстановления является квазистационарным. Статическая характеристика процесса является нелинейной гладкой функцией от m переменных.

заданы в некотором кубе: .

Во многих задачах, встречающихся на производстве, функция не может быть с достаточной точностью аппроксимирована полиномом на всём диапазоне регламентных значений . Поэтому основная идея рассматриваемого метода заключается в следующем:

- всю область определения G разбивают сеткой на элементарные кубы;

- на каждом кубе набирают статистику и, используя метод кубической регрессии, определяют значение в центре куба (узле);

- используя методы интерполяции, оценивают значения на всем множестве G.

Рассмотрим этот метод подробнее.

При наборе статистики следует иметь в виду, что процессы, как правило, бывают инерционными. Поэтому, чтобы исключить набор взаимно коррелированных данных, данные следует включать в статистику усредненными и при условии, что скорость изменения на интервале усреднения меньше некоторой величины, определяющей установившийся режим.

Ведем на множестве G сетку следующего вида:

+1,

где h_i – шаг по координате х_i, нормированный для того, чтобы шаги по всем координатам численно были равны. Тогда множество G разобьется на n^m элементарных кубов. Для каждого куба набирается статистика используемая для определения значения в узле k-го куба.

; (8.8)

где – координата узла k-го элементарного куба;

– среднеквадратичная норма.

Статистику целесообразно хранить в очереди, потому что процесс квазистационарный и поэтому более раннюю информацию следует заменять более свежей. Но не каждая новая точка может попасть в статистику. Информацию нужно отбирать так, чтобы узел был приблизительно в центре набранной статистики. Для реализации этого требования можно предложить следующий критерий: новая точка включается в статистику, если выполняется условие (8.8) и если скалярное произведение разности векторов и центра этой куба с суммой всех векторов статистики меньше нуля.

.

Это условие позволяет выбирать режимы, лежащие в полупространстве, противоположном вектору, среднему по набранной статистике. Для двухмерного пространства выбор статистики проиллюстрирован на рис.8.1.

Рис. 8.1. Пример последовательности включения в статистику

первых трёх точек

Очевидно, что набор статистики для каждого элементарного куба осуществляется с разной скоростью. Быстрее всего статистика набирается в области, близкой к рабочему режиму объекта управления. После набора статистики в элементарных кубах, смежных с этой областью, появляется возможность по значениям функции в узлах построить, используя интерполяцию многомерным сплайном, модель функции в окрестности рабочей области. По полученной модели в области её определения, определяемой кубами с набранной статистикой, определяют оптимальный режим и делают шаг в этом направлении. Если критерий оптимальности возрастает, то движение продолжают, в противном случае режим возвращают в исходное положение. В обоих случаях информация, полученная при изменении режима, используется для пополнения статистики и, следовательно, уточнения модели. Таким образом, модель по мере функционирования самонастраивается. По мере дрейфа оптимума модель уточняется со сменой статистики. Самонастройка протекает быстрее, когда оптимум совпадает с рабочим режимом.