§ 15. Формальные вычисления.

См. преамбулу «Алгоритмы символьной обработки». В частности, там определено понятие формального вычисления как нахождение текста (обозначения) результата операции по тексту (обозначениям) аргументов, в некоторой фиксированной системе обозначений.

Очевидно, деление «обозначение(имя)/значение, синтаксис/семантика» является фундаментальным не только в программировании, но и в целом, для нашего мышления (см. § 1 «Основные понятия…»). Но программист обязан понимать и условность этого деления – в реальности, все компьютерные вычисления формальны, реализуясь в конечном счете в алгоритмах символьной обработки последовательностей битов (см. § 8 «Машинно-ориентированное программирование»). Отсюда – очевидная важность рассматриваемой темы.

Рассмотрим ее на простом примере операции сложения натуральных чисел.

Задача. Найти запись (обозначение) суммы двух натуральных чисел по записям аргументов, не прибегая к преобразованиям типов. Обозначения чисел (в традиционной 10-ной системе счисления) представлены массивами.

type

tIndex=1..Len;

tCifer='0'..'9';

tNotation=array[tIndex] of tCifer;

tPair=record

First,Second:tCifer

end; {пара цифр}

{глобальный параметр - таблица сложения}

{PifagorTable: array[tCifer,tCifer] of tPair;}

procedure СложениеСтолбиком(Arg1,Arg2:tNotation; var Sum:tNotation; Error:boolean);

{Error - ошибка переполнения}

var

Um: '0'..'1'; {цифра "в уме"}

Pair:tPair;

i:tIndex;

begin

Um:='0';

for i:=1 to Len do

begin

Pair:= PifagorTable[Arg1[i],Arg2[i]]; {пара цифр от '00' до '18'}

if Um='0'

then begin Sum[i]:=Pair.Second;Um:=Pair.First end

else {Um=1}

if Pair.Second='9' {особый случай}

then { Pair.First='0' } Sum[i]:='0'

else begin Sum[i]:=succ(Pair.Second);Um:=Pair.First end;

end;

Error:=Um='1'

end;

2. Пример вычисления функции значения и обратной функции.

Задача. Найти запись (обозначение) суммы двух натуральных чисел по записям аргументов, прибегая к преобразованиям типов. Обозначения чисел (в традиционной 10-ной системе счисления) представлены массивами (также, как в предыдущей задаче).

procedure ToValue(cArg:tNotation; var iResult:integer);

var a:0..9; {значение очередной цифры}

begin

iResult:=0;

{вычисление многочлена  {a_i 10 ^Len-i: i  [1..Len]} по схеме Горнера}

for i:=1 to Len do begin a:= ord(cArg[i]))-ord('0'); iResult:=iResult*10+a; end;

end;

procedure ToName(iArg:integer; var cResult:tNotation; Error:boolean);

var

c:tCifer; {очередная цифра десятичной записи}

a:0..9; {значение очередной цифры}

OrdZero:integer; {номер символа '0' в таблице символов}

begin

OrdZero:=Ord('0'); k:=1;

while (iArg<>0) and (k<=Len) do

begin

a:= iArg mod 10; iArg:=iArg div 10;

cResult[k]:=chr(OrdZero+a);k:=k+1

end;

Error:=k>Len;

while k<=Len do begin cResult[k]:='0';k:=k+1 end;

end;

procedure Sum(cArg1,cArg2:tNotation;var cResult:tNotation;Error:boolean);

var iArg1,iArg2:integer;

begin

toValue(cArg1,iArg1); toValue(cArg2,iArg2); ToName(iArg1+iArg2,cResult,Error);

end;