30. Робота сил електростатичного поля. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля

Під час переміщення заряду під дією електростатичного поля виконується робота.

, Зміна відстані заряду від ; Повна робота на всьому шляху знайдеться при інтегруванні від до .

.

Отож, з цієї роботи можна зробити висновки:

1. Робота по переміщенню заряду в електростатичному полі не залежить від форми траєкторії руху і визначається тільки кінцевим () і початковим () положенням заряду, (а також від величин зарядів і q і діелектричної проникності ). Поля з такими властивостями називаються потенціальними. Так чином електростатичне поле – потенціальне.

1. Якщо шлях замкнутій траєкторії можна визначити , – елементарна переміщення.

За означенням .Тоді .Таким чином .

Інтеграл по замкнутому контуру називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля.

Силове поле, циркуляція силового вектора якого дорівнює 0, називається потенціальним, консервативним. Таким чином, електростатичне поле потенціальне.

31. Потенціальний характер електростатичного поля.

За законом збереження енергії робота в електростатичному полі виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії зарядженого тіла.

При переміщенні заряду в електростатичному полі заряду q виконується робота:

,яка дорівнює.

Якщо заряд переміщується в нескінченність

Тоді ; .

Потенціальна енергія заряду на нескінченості вважається рівною 0.

Таким чином заряд в електростатичному полі заряду q на відстані r від нього має потенціальну енергію (в системі СІ): .

Для різних пробних зарядів і т.д. в одній і тій де точці поля (r = const) потенціальна енергія різна і т.д., але відношення потенціальної енергії до відповідних зарядів одне й те саме.

.

Це відношення характеризує певну точку поля називається потенціалом і позначається .

Потенціалом електростатичного поля в будь-якій його точці називається фізична величина, що дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, розміщеного в цій точці. ().

А також потенціал можна визначити:

Фізична величина, що дорівнює роботі виконуючій силі поля при переміщенні одиничного позитивного заряду із даної точки поля на нескінченність: .

За одиницю потенціалу в системі СІ приймається В (вольт). Потенціал в один вольт має точка поля, в якій заряд в один кулон має потенціальну енергію в 1 джоуль..

Потенціал точкового заряду має вираз:.

Потенціал, за визначенням, енергетична характеристика електростатичного поля; величина алгебраїчна (скалярна).

Потенціал електростатичного поля системи зарядів в будь-якій точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів кожного точкового заряду.

.

В цьому суттєва перевага скалярної характеристики поля (потенціалу) перед його векторною силовою характеристикою (напруженістю), що дорівнює геометричній сумі складених напруженостей.

Еквіпотенціальні поверхні

Еквіпотенціальною поверхнею називається геометричне місце точок з однаковим потенціалом (поверхня рівного потенціалу).

Якщо потенціал заданий як функція (X, Y, Z) то рівняння еквіпотенціальної поверхні має вигляд:

Під час переміщення заряду по еквіпотенціальній поверхні робота дорівнює нулю. .

Тому cos = 0, , а сила F перпендикулярна еквіпотенціальним поверхням, тому силові лінії поля перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням. Еквіпотенціальну поверхню можна провести через будь-яку точку поля. Отже їх можна побудувати безліч. В однорідному полі еквіпотенціальні поверхні мають вигляд паралельних площин.

Зв’язок потенціалу з напруженістю поля

Напруженість поля визначається силою, що діє на одиничний позитивний заряд, а різниця потенціалів – роботою цієї ж сили, то між напруженістю і потенціалом існує зв’язок.

Визначимо її.

На рис. 3 зображені еквіпотенціальні поверхні довільного поля з потенціалами  і  + .

Відстань між еквіпотенціальними поверхнями вздовж силової лінії – X.

Будемо вважати, що напруженість на ділянці X – стала. Тоді робота по переміщенню деякого заряду q на X дорівнює

З другого боку цю ж роботу можливо виразити через різницю потенціалів.

_,,,,.

Таким чином напруженість поля у числовому виразі дорівнює зміні потенціалу на одиницю довжини вздовж силової лінії.

Знак «– «показує, що напруженість поля спрямована в бік зміщення потенціалу. В системі СІ за одиницю напруженості приймається напруженість такого поля, в якому напруга на один метр довжини силової лінії дорівнює 1 В.

Величина показує швидкість зміни потенціалу в напрямку, перпендикулярному до еквіпотенціальної поверхності в бік його збільшення, називається градієнтом потенціалу. В загальному випадку позначається qrad. Градієнтом потенціалу називається вектор спрямований в кожній точці поля в бік найбільш швидкого збільшення потенціалу і рівний зміні потенціалу на одиницю довжини у цього напрямку.

_{В неоднорідному полі} X0, тоді. Отож, одержуємо або

Таким чином, напруженість в будь-якій точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому із зворотнім знаком.