2. Многомерные случайные величины. Понятие условного распределения.

Многие экономические показатели описываются не одной, а двумя или более случайными величинами X, Y, Z, …, W, являясь по сути многомерными СВ. Например, издержки предприятия включают в себе фиксированную и переменную составляющие. Уровень жизни населения подразумевает использование большого числа показателей: среднедушевой доход, минимальная зарплата, минимальная потребительская корзина, продолжительность жизни, наличие товаров и услуг и т.д.

Принято совокупность таких показателей назвать системой случайных величин и обозначить (X, Y, Z, …, W). Свойства системы СВ образуются не только свойствами входящих в систему отдельных СВ, но и их взаимосвязями.

Для простаты изложения ограничимся рассмотрением систем только двух СВ. Такие двумерные СВ (Х, У) удобно рассматривать как случайную точку на плоскости с координатами Х и У.

Законом распределения вероятностей двумерной СВ называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел ) и их вероятностей ( где ;). Обычно закон распределения задают в виде таблицы:

Таблица 2.2

			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например, события , , … , несовместны, поэтому вероятность того, что примет значение , по теореме сложения равна:

(2.52)

В общем случае, для того чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности столбца . Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность .

- Функцией распределения вероятностей системы двух СВ называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и :

(2.53)

В геометрической интерпретации это есть вероятность случайного попадания материальной точки одновременно левее, чем абсцисс и ниже чем ордината .

Из определения функции распределения следуют ее свойства:

1) .

2) Функция распределения является неубывающей функцией обоих своих аргументов: при ; при .

3) Имеют место предельные соотношения:

, , , .

4) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей : .

При функция распределения системы становится функцией

распределения составляющей : .

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу:

, .

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами ,, , :

- .

Пусть функция распределения вероятностей всюду непрерывна и имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной СВ (двумерной плотностью вероятностей) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

(2.54)

Геометрически функцию можно истолковать как поверхность в декартовой системе , ее называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения

(2.55)

Произведение (при малых приращениях ) есть вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания случайной точки в произвольная область D равна двойному интегралу по области D от функции :

(2.56)

Геометрически эту вероятность можно истолковать как объем тела – вертикальной колонны, ограниченного сверху поверхностью , основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость , т.е. область D.

Свойства двумерной плотности вероятности:

1. .

2. .

Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной СВ

Обозначив через и функции распределения составляющих и соответственно:

, и продифференцировав обе части, получим:

и (2.57)

Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу (по другой составляющей) с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы.

Условные законы распределения составляющих системы дискретных СВ и системы непрерывных СВ

Рассмотрим дискретную двумерную СВ (см. табл.2.2). Обозначим условную вероятность того, что примет значение при условии, что , через . В общем случае условные вероятности составляющей обозначены так:

, где ; .

Условным распределением составляющей при называют совокупность условных вероятностей , вычисленных в предположении, что событие ( фиксировано при всех значениях ) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей . Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно, пользуясь формулой (2.53) , вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения в предположении, что событие уже произошло, может быть найден по формуле

( ). В общем случае условные законы распределения составляющей определяются соотношением

(2.58)

Аналогично, условные законы распределения составляющей определяются соотношением

(2.59)

Замечание. При фиксированном имеем , следовательно

(2.60)

Аналогично получим

.

Это свойство условных распределений используют для контроля вычислений.

Пример 2.3. Дискретная двумерная СВ задана таблицей 2.3

Таблица 2.3

	0,20	0,30	0,15
	0,05	0,10	0,20

Найдем условный закон распределения составляющей при условии, что составляющая приняла значение .

Решение. Искомый закон определяется совокупностью следующих условных вероятностей: . Воспользовавшись формулой (2.61) и приняв во внимание, что

, получим

,

,

.

Для контроля сложив найденные условные вероятности, убеждаемся, что их сумма равна единице.

Пусть - непрерывная двумерная СВ, а ее двумерная плотность вероятностей. Нам интересует функция плотности при фиксированной одной СВ. В этом случае функция усредняется (интегрируется) по лишней переменной. В результате получается так называемая маргинальная (лат. предельная) функция плотности распределения.

Условной плотностью распределения составляющих при данном значении (составляющих при данном значении ) называют отношение плотности совместного распределения системы СВ к плотности распределения составляющей (к составляющей ):

, () (2.62)

Для плотностей условных распределений использую также обозначения

и.

Напомним, что условная плотность отличается от безусловной плотности тем, что дает распределение при условии, что составляющая приняла значение ; вторая же - дает распределение независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая . Условные плотности выражаются через плотность совместного распределения по формулам:

, (2.63)

Формулы (2.57) запишем в виде

, (2.64)

Следовательно, умножая закон распределения одного составляющего на условный закон распределения другой составляющей, получим закон распределения системы случайных величин.

Свойства условных плотностей распределения:

, ; , (2.65)

Условное математическое ожидание (обозначают , )

Условным мат.ожиданием дискретной СВ при называют сумму произведений возможных значений на их условные вероятности:

(или ) (2.66)

Для непрерывных СВ:

. (или )

Условное математическое ожидание есть функция от , которую называют функцией регрессии на (т.е. функциональная зависимость между и среднеожидаемым -ом ). Аналогично определяются условное мат.ожидание СВ и функция регрессии на :

, (2.67)

Используют также обозначения и .

Пример 2.4. Дискретная двумерная СВ задана табл. 2.4.

Таблица 2.4

	0,15	0,06	0,25	0,04
	0,30	0,10	0,03	0,07

Найдем условное мат.ожидание составляющей при : =? (=?).

Решение. =,

==15/45=1/3,

=0,30/(0,15+0,30)=30/45=2/3,

Находим условное мат.ожидание =4(1/3)+7(2/3)=18/3=6.

Две СВ называем независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых СВ равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того чтобы СВ и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения вероятностей системы СВ была равна произведению функций распределения составляющих:

Следствие. Для того чтобы непрерывные СВ и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Если СВ и независимы, то

Числовыми характеристиками системы двух случайных величин являются:

- корреляционный момент (ковариация(co-vary – «совместное изменение») ) (используют обозначения , , , ) - это мат.ожидание произведения отклонений этих величин от своих мат. ожиданий:

== (2.68)

Ниже для удобства аргументы ковариации записаны маленькими буквами.

- ковариация двух СВ характеризует как степень зависимости между ними, так и их рассеяние вокруг «центра тяжести»,т.е точки .

- ковариация имеет размерность (если в метрах, то будет в - ах), что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости случайных величин.

- коэффициент корреляции (Пирсона) двух СВ это отношение их ковариации к произведению их средних квадратических отклонений: (обозначают , )

(2.69)

Корреляционный момент двух независимых СВ и равен нулю.

Коэффициент корреляции двух независимых СВ и равен нулю.

Если , то СВ и называются некоррелированными.

Если , то СВ и называются коррелированными.

Свойства ковариации:

1. , (). 2. .

3. Для независимых СВ . 4. .

Правила

1. .

2. , где постоянная величина.

3. , где постоянная величина.

4. , где - константы.

Свойства коэффициента корреляции:

1. . 2. . 3. .

4. , если СВ и независимы (не существует никакая связь).

5. , если между и существует прямая линейная функциональная зависимость, , если между и существует обратная линейная функциональная зависимость.

Заметим, что если и независимые СВ, то и - некоррелированные СВ. Обратное утверждение неверно. Это наглядно проиллюстрировано на рис. 2.7.

0 X 0 X 0 X

0 X 0 X 0 X

Рис. 2.7

В параграфе 2.1 были приведены основные свойства и формулы расчета дисперсии (для независимых СВ). В случае, когда СВ и зависимы, т.е коррелируют друг друга, формулы расчета дисперсии их суммы или разности приобретают вид:

, (2.70)

где по , (см. (2.69)).

Значимость коэффициента корреляции при анализе данных наблюдении рассмотрим в главе 3 (регрессионный анализ) данного пособия.

Пример 2.5. Компания многие годы вложила средства в две отрасли и получала дивиденды (в процентах) от вложений. В результате многолетних наблюдений за инвестициями был построен закон распределения размеров годовых дивидентов

( СВ и ) от вложений в данные отрасли ( см. таблицу 2.5)).

Необходимо определить маргинальные законы распределения каждой из СВ, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно: вкладывать деньги в одну из этих отраслей либо одновременно в обе отрасли в равных пропорциях.

Таблица 2.5

	-10	5	10
-10	0,05	0,25	0,3	0,6
20	0,15	0,20	0,05	0,4
	0,2	0,45	0,35

Решение: условная вероятность определяется по столбцам таблицы, а - по строкам. Например, =

=0,2/0,45=0,444. Предельные (маргинальные) законы распределения СВ и представлены в правом столбце и нижней строке таблицы.

Так как

(например, = 0,3 0,60,35 = 0,21 = ), то СВ и не являются независимыми. По построенным маргинальным законам распределений СВ определим числовые характеристики и :

=-100,6+200,4 = 2; ;

= ;

= = 55,6875;

; .

Ковариацию и коэффициент корреляции найдем по формулам:

= =

= EMBED Equation.DSMT4 +

+

.

Коэффициент корреляции 0,4 говорит о том, что между СВ и (годовыми дивидендами в процентах) существует не очень сильная отрицательная линейная зависимость.

Риски от вложений можно определить по разбросу значений их дивидентов, т.е по дисперсиям СВ. Дисперсии дивидентов и соответственно равны 216 и 55,6875, следовательно вложения в первую отрасль более рискованно, чем во вторую.

Обозначим размер годовых дивидентов (в процентах) от вложения денег одновременно в обе отрасли в равных пропорциях через Z: .

Мат.ожидание и дисперсия соответственно равны:

;

=

.

Поскольку = 55,6875, то одновременное вложение в обе отрасли в равных пропорциях является наименее рискованным из трех рассмотренных вариантов инвестиций.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите примеры случайных событий в экономике.

2. Что такое относительная частота события, как она связана с вероятностью?

3. Что такое случайная величина (СВ)? Какие виды СВ известны?

4. Приведите примеры дискретных и непрерывных СВ из экономики.

5. Перечислите основные числовые характеристики СВ. Как они вычисляются

6. для дискретных и непрерывных СВ?

7. Что такое функция распределения вероятностей СВ? Что такое плотность распределения ? Приведите их свойства.

8. Каким образом может быть задана СВ.

9. Как рассчитывается вероятность попадания СВ в определенный интервал с помощью функции распределения, с помощью плотности распределения?

10. Выведите основные свойства мат. ожидания и дисперсии, используя их определения.

11. Как связаны между собой СВ, имеющие стандартизированное нормальное распределение, распределения Стьюдента, Хи Квадрат и Фишера?

12. К какому распределению стремятся распределения Стьюдента, Хи Квадрат и Фишера при увеличении числа степеней свободы?

13. Что такое ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляции? Перечислите их свойства.

14. Что такое двумерная (многомерная) СВ, закон ее распределения, условная вероятность и двумерная плотность распределения?

15. Что такое независимость двух СВ, как определяется коррелированность СВ?

Упражнения и задачи

1. На основе многочисленных наблюдений установлено, что доля покупателей-женщин в данном парфюмерном магазине составляет 70%. Среди покупателей-мужщин 70% предпочитают парфюмерный товар фирмы А, а среди покупателей-женщин товары этой же фирмы предпочитают 50%. Какова вероятность того, что случайный покупатель предпочтет товар фирмы А?

2. Семь из десяти посетителей кафе заказывают к кофе пирожное. Два человека заказывают кофе. Какова вероятность того, что они закажут: а) два пирожных; б) одно пирожное; в) ни одного пирожного?

3. Брокер может приобрести акции одной из четырех компаний А, В, С, D. Риски прогореть при покупке акций этих компаний соответственно составляют 50%, 40%, 20% и 30%. Брокер решает вложить все деньги в акции одной случайно выбранной компании. Какова вероятность того, что брокер прогорит?

4. Совет директоров компании состоит из 12 человек; 3 из них лоббируют проект А, 5 – проект В, а остальные склонны инвестировать деньги в проект С. Решение об инвестировании будет принимать большинством голосов комиссия, состоящая из 5 выбранных жребием директоров. Какова вероятность принятия решения в пользу проекта В?

5. Исследуется динамика курсов валют А и В по отношению к валюте С. Статистика торгов на валютной бирже свидетельствует, что при возрастании курса валюты В курс валюты А растет в 80% случаев, при снижении курса валюты В курс валюты А растет в 25% случаев, при неизменности курса валюти В курс валюты А растет в 50% случаев. Предполагая, что варианты изменения курса валюты В равновозможны, определить вероятности соответствующих изменений при условии, что на последних торгах курс валюты А вырос.

6. Среди 10000 лотерейных билетов 10% являются выигрышными. Определить:

а) вероятность выигрыша при покупке 5 билетов;

б) количество билетов, которое необходимо приобрести, чтобы выиграть с вероятностью 0,9;

в) что вероятнее: выиграть или не выиграть при покупке 7 билетов?

7. Задан закон распределения дискретной СВ Х:

	1	3	5	7	9
	b	2b	3b	4b	5b

Определить:

а) значение b;

б) значения ;

в) вероятность .

8. Известно распределение годовой прибыли фирмы:

	-10	-5	0	10	20	25
	0,05	0,15	0,25	0,30	0,20	0,05

Необходимо определить ожидаемую прибыль, среднее квадратическое

отклонение. Определите вероятность положительной прибыли.

9. СВ - величина ежемесячного спроса на некоторый продукт – задана следующим законом распределения:

	100	200	300	400	500	600
	0,05	0,15	0,25	0,30	0,20	0,05

Издержки на производство единицы продукции составляют 5$, продукция продается по фиксированной цене 10$ за единицу. Целью производителя является максимизация ожидаемой прибыли. Какова величина ожидаемой прибыли и ее дисперсии?

10. Проведен маркетинговый анализ количества автомобилей района для определения целесообразности строительства станции техобслуживания.

Обследовано 5000 семей. Из них в 250 автомобили отсутствовали, а в 1500 было по 1 автомобилю, в 2500 – по 2, в 600 – по 3 и в 150 по 4. Вероятность поломки автомобиля равна 0,05. Станция будет рентабельна, если ее ежедневная загрузка составит 5 автомобилей. Целесообразно ли строительство станции в данном районе?

11. СВ имеет плотность вероятности при и при

. Найти вероятность того, что СВ при четырех испытаниях попадет в

интервал от 0 до 1 ровно три раза.

12. Двумерная СВ задана следующим законом распределения:

	-10	0	10	20
10	0,25	0,10	0,15	0,00
20	0,00	0,05	0,30	0,15

а) Определить маргинальные законы распределений СВ и ,

б) Вычислить ожидаемые значения и , а также их дисперсии.

в) Определить условные вероятности и .

г) Являются ли СВ и независимыми?

13. СВ и - годовые дивиденды от вложений в отрасли А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: =16, =9. Коэффициент корреляции = -0,6. Что менее рискованно, вкладывать в обе отрасли в соотношении 30% на 70% или только в отрасль В?

14.Имеются три вида акций А, В и С, каждая стоимостью 10$, дивиденды по акциям независимые случайные величины (СВ) со средним значением 10% и дисперсией 16 . Формируются два портфеля инвестиций: - из 30 акций А и - включает в себя по 10 акций А,В и С.

а) Отличаются ли данные портфели по величинам ожидаемых дивидендов и по риску?

б) Пусть коэффициент корреляции между дивидендами по акциям А и В равен -0,5 , но обе эти величины не коррелируют с дивидендами по акциям С. Как это отразится на ответе на вопрос а)?

в) Если дивиденды по рассматриваемым акциям положительно коррелированны друг с другом, то снизит ли риск вложений покупка различных акций?

г) Если корреляция между акциями А и В является совершенной отрицательной, то что можно ожидать при формировании портфеля по принципу 50% акций А и 50% акций В?

15. Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 1000$ и средним квадратическим отклонением 400$. Обследуется 1000 человек. Какое количество человек будет иметь доход более 1500$? Назовите наиболее вероятное количество.

16.Прибыль в отрасли имеет нормальный закон распределения со средним значением 1 млн$ и средним квадратическим отклонением 0,25 млн$. Что вероятнее, получить прибыль не более чем 0,8 млн$ или в пределах от 1,2 млн$ до 1,5 млн$?