2.2.3. Распределение (хи-квадрат) – распределение Пирсона

Распределение с n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ, распределенных по стандартному нормальному закону:

, где ~ . (2.41)

Число степеней свободы функций (т.е. число ) определяется числом ее составляющих СВ, минус число линейных связей между ними. Например, если связаны одним линейным соотношением , то число степеней свободы рано .

Плотность этого распределения при равен

, и равен нулю при (2.42)

где - гамма-функция; в частности, .

Из определения следует, что распределение «хи квадрат» зависит из одного параметра – числа степеней свободы. При распределение СВ близко к стандартному нормальному . Поэтому обычно таблицы задаются для .

График плотности вероятностей СВ, имеющей распределение, имеет асимметричный вид (рис. 2.4), однако с увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Числовые характеристики:

, , (2.43)

где - число связей между , а - число степеней свободы СВ, распределенной по «хи квадрату».

Рис. 2.4

Если и - две независимые - распределенные СВ со степенями свободы и соответственно (, ), то их сумма также -распределенная СВ с числом степеней свободы . Распределение (ее критические границы) применяется при построении доверительных интервалов и проверке гипотез.

2.2.4. Распределение Стьюдента ( t распределение)

Имеем две СВ, одна из которых распределена по стандартно-нормальному закону ~ , а другая – по закону «хи квадрат» с степенями свободы . Тогда распределением Стьюдента (или - распределением) называется распределение следующей СВ:

, (2.44)

Функция плотности распределения Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) имеет вид:

(2.45)

При - распределение приближается к нормальному, а плотность сходится к плотности распределения стандартной нормальной СВ. Практически уже при

- распределение приближенно нормальное.

График функции плотности вероятностей СВ, имеющей распределение Стьюдента, симметричен относительно оси ординат (рис. 2.5). Кривые плотности распределения Стьюдента и стандартного нормального распределения, с двусторонними критическими границами этих распределений приведены на рис. 2.5. Как видно, двусторонние критические границы распределения Стьюдента шире соответствующих границ стандартно-нормального распределения ().

0

Рис. 2.5

Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез (при этом используется таблица критических точек распределения Стьюдента, см. Пр.3).