5. Чисельні методи розв’язання задачі Коші.

Розглянемо диференційне рівняння першого порядку:

(1).

Задача Коші полягає в наступному: знайти розв’язок u(x) рівняння , що задовольняє початкову умову (2). Функція u(x) може бути як скалярною, так і векторною.

Загальний вигляд задачі Коші для n-го порядку звичайних диференційних рівнянь має вигляд:

(3). Для такої задачі початкові умови записуються так: (4). Вони дозволяють виділити з мн-ни роз-ків єдиний роз-к:

.

Всі методи розв’язання задачі Коші діляться на 2 типа: 1) точні; 2) наближені. В свою чергу наближені поділяються на 2 типи: 1) аналітичні; 2) чисельні.

В аналітичних методах роз-к будується як послідовність функцій . Перевага цього роз-ку в тому, що він у вигляді функції. До аналітичних методів належать такі методи як метод послідовних наближень та метод степеневих рядів.

Чисельні методи дають роз-к лише на деякій мн-ні точок, тобто у вигляді таблиці. Ці значення теж будуть наближеними. Чисельні методи бувають однокрокові та багатокроккові. В однокрокових методах для знаходження роз-ку в якійсь точці використовується лише інформація в попередній точці. В бгатокрокових методах для знаходження роз-ку в якійсь точці використовується інформація в декількох попередніх точках.

Розглянемо деякі чисельні методи роз-ня задачі Коші.

. Якщо використати це рівняння то можемо написати: (5). Отже, якщо у нас було відоме , то ми зможемо знайти . Введемо сітку: . Тоді роз-к задачі (1), (2) на цій сітці можна одержати з (5) шляхом заміни інтеграла деякою квадратурною формулою:

1. Метод Ейлера

Замінимо інтеграл квадратурною формулою лівих прямокутників. Одержимо (6) – формула Ейлера.

2. Модифікований метод Ейлера.

Замінимо інтеграл квадратурною формулою правих прямокутників. Одержимо (7) (невідомі є і зліва і справа). Для того щоб застосувати цю формулу необхідно роз-ти нелінійні рівняння: . Можна зробити і іншим чином. Можна спочатку визначити , а потім використати його в правій частині (7). Це так званий модифікований метод Ейлера.

Спільні риси Методу Ейлера і модифікованого методу Ейлера: точність обох методів однакова. Похибка на кроці буде становити .

Відмінні риси: якщо метод Ейлера є умовно стійким, то модифікований метод Ейлера є стійким безумовно.

Щоб підвищити точність потрібно використовувати більш точні квадратурні формули для заміни інтегралу. Наприклад формулу середніх прямокутників: . Ця формула буде точніше на порядок за попередні формули. Похибка на кроці буде становити .

3. Метод Рунге-Кутта

Нехай маємо задачу Коші (1), (2). І нехай розв’язуючи задачу Коші ми дійшли до точки x і потрібно обчислити зн-ня роз-ку в точці x+h. Цей роз-к будемо шукати у вигляді: , де – вагові коефіцієнти, ……………. Отже, роз-к в наступній точці = роз-к в попередній точці + лінійна комбінація приросту. Розглянемо питання про вибір невідомих параметрів: , , . Розглянемо

ф-цію похибки на кроці. Якщо f(x,u) досить гладка ф-ція, то і ф-ція теж буде гладкою. Припустимо, що має похідні до порядку s+1 включно, тоді її можна подати у вигляді: (розклад в ряд Тейлора в околі точки 0). Якщо ми зможемо підібрати параметри p, α, β таким чином, щоб , а , то ми одержимо метод Рунге-Кутта s-го порядку точності на кроці.