IV Метод Ньютона.

Нехай f(x)=0 – двічі неперервно-диференційовна функція, тоді можна записати: .

Звідси отримаємо .

Отже, отримали ітераційний процес – формула Ньютона. (Для системи рівнянь - , де W - матриця Якобі). Обчислення рішення рівняння за допомогою такого ітераційного процесу називається методом Ньютона.

На відміну від МПІ у цьому методі похибка на наступному кроці буде вести себе як квадрат похибки у попередньому кроці.

Основні недоліки методу Ньютона:

1. Умови збіжності в методі значно жорсткіші і для багатьох випадків їх фактично не можливо одержати.

2. На кожному кроці треба підраховувати похибку.

x₀ шукають іншими методами (наприклад, метод дихотомії: 1) метод Ньютона; 2) якщо , тоді відрізок [x₀, x₁] ділиться навпіл і йде метод дихотомії; 3) знов далі метод Ньютона.)

Система нелінійних рівнянь

Розглянемо сис-му нелін. рівнянь:

, у векторній формі (6)

f_i – функції дійсних змінних. Методи розв’язування є ітераційними (щоб його запустити потрібно мати наближення). В загальному випадку дослідити (6) на наявність і кількість розв’язків досить вожко.

Знаходити розв’язок сис-ми нелін. рівнянь можна з допомогою таких методів:

Лінійні:

1. Метод простої ітерації (мпі).

2. Метод релаксації.

3. Метод Пікара.

4. Метод Ньютона.

Нелінійні:

5. Метод Якобі.

6. Метод Зейделя.

Вище ми вже розглянули МПІ, Метод релаксації та метод Ньютона. Отже, далі опишемо тільки методи Пікара, Якобі і Зейделя.

1. Метод Пікара.

Будемо вважати, що розв’язок x* існує. В багатьох випадках функція має такий вигляд: , де A - невироджена матриця, - вектор функція. Наше рівняння приймає вигляд . Будуємо ітераційний процес за схемою - це метод Пікара. Вважається, що лінійна частина рівняння міститься в матриці A.

Недолік: треба обчислювати обернену матрицю для A. Тому можна робити так: . Але тоді на кожному кроці треба розглядати систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

В загальному випадку метод записується у вигляді (7), де B - деяка не вироджена матриця.

Всі розглянуті вище методи були лінійними, тепер розглянемо декілька нелінійних методів.

2. Метод Якобі.

Якщо є сис-ма (6) , то можемо розглянути метод Якобі:

, Метод Якобі реалізується: маємо наближення, замінимо:

Одержали сис-му з n нелінійних рівнянь. Ця сис-ма розпадається на n окремих нелін. рівнянь. Для розв’язку 2-го р-ня використаємо роз-к 1-го рі-ня, для ро-ку останнього: . Це багатокроковий метод, так як знаходження роз-ку в останній точці використовується інформація в декількох попередніх точках. Щоб прискорити цей метод використовують метод Зейделя.

Метод Зейделя

Нехай задана система лінійних рівнянь, (*) , де в матриці

всі діагональні не дорівнюють нулю. Якщо і-те рівняння системи (*) поділити на , а потім всі невідомі, крім , перенести вправо, то ми прийдемо да еквівалентної системи , де , , ,

Метод полягає в тому, що ітерації проводяться по формулі:

де – довільні, і=1,2,...,n; k=1,2,…

Теорема Для існування єдиного розвязку системи (*) і збіжності методу Зейделя достатньо виконання однієї з умов

1)

2) Матриця А– симетрична додатньо визначена (всі її власні числа додатні).