Понятие вариации функционала

Y(f(x)), рассматривается «точка» f₀(x) и Y(f₀(x)), даем приращением аргумента η(x)

Y(f₀(x) + η(x)) – новое значение функционала.

Рассмотрим разность

ΔY=Y(f₀(x) + η(x)) – Y(f₀(x))

Функционал Y(f(x)) называется дифференцируемым в точке f₀(x), если

ΔY=Y_л(η(x) + O(׀׀η(x)׀׀)

lim O(׀׀η(x)׀׀)/׀׀η(x)׀׀=0

^{׀׀o׀׀→0}

Вариация – главная линейная часть приращения функционала дифференц, функционала.

η(x)=λh(x), где h(x) - тоже вариация аргумента

ΔY=Y_л(λh(x) + O( )) = λY_л(h(x)) + O( )

ΔY/λ = Y_л(h(x)) + O( )/λ

limΔY/λ=Y_л(h(x))

^λ→0

Y_л=∂/∂λ Y(f₀+λη)׀_λ=0

δy=∂/∂λ Y(f₀+λη)׀_λ=0 правило вычисления

Вариация функционала

Задача: Вычислить δy в точке f(x)=x, если₁

y=₀∫f³(x)dx

_{1 1 1 1}

∂y=∂/∂λ ₀∫(f₀+λη)³dx׀_λ=0 = ₀∫3(f₀+ηλ)²ηdx)׀_λ=0 = ₀∫3f₀²ηdx = ₀∫3x²η(x)dx

Лекция№6

Необходимое условие экстремума функционала

_{аргумент}

Y(f(x)) – задан функционал

f₀(x) – выбранное значение аргумента (конкретная функция)

Даем вариацию аргументу f₀(x) + η(x) (вариация аргумента)

Получаем два значения функционала аргумента

Y(f₀(x)) и Y(f₀(x) + η(x))

ΔY=Y(f₀(x) + η(x)) – Y(f₀(x))

Если ΔY имеет один и тот же знак при любой η(x), то f₀(x) – точка экстремума (это условие экстремума)

ΔY имеет одинаковый знак, при любых Δx

- для малых

если

- это линейный функционал относительно

1) Пусть

при

2) Пусть

при -

в силу линейности

постоянный множитель можно вынести!

- необходимое условие

если не так, экстремума быть не может

Задача Эйлера. Уравнение Эйлера.

_{аргумент}

Y(f(x)) – задан функционал

f₀(x) – выбранное значение аргумента (конкретная функция)

Даем вариацию аргументу f₀(x) + η(x) (вариация аргумента)

Получаем два значения функционала аргумента

Y(f₀(x)) и Y(f₀(x) + η(x))

ΔY=Y(f₀(x) + η(x)) – Y(f₀(x))

Если ΔY имеет один и тот же знак при любой η(x), то f₀(x) – точка экстремума (это условие экстремума)

ΔY имеет одинаковый знак, при любых Δx

- для малых

если

- это линейный функционал относительно

1) Пусть

при

2) Пусть

при -

в силу линейности

постоянный множитель можно вынести!

- необходимое условие

если не так, экстремума быть не может

Лекция №7

Функционалы, зависящие от высших порядков

Условия закрепления y(х)

y(x₁) = y₁ y^(n-1)(x₁) = y₁^(n-1)

y(x₂) = y₂ y^(n-1)(x₂) = y₂^(n-1)

y^(n-2)(x₁) = y₁^(n-2)

y^(n-2)(x₂) = y₂^(n-2)

=

- вещественный множитель

Находим то, что содержит , дифференцируем по промежуточному аргументу, а затем по основному.

=

Лекция №8

Функционалы, зависящие от нескольких аргументов (векторного аргумента)

выборочное производство: y₁,y_2,...,y_n

должны производные много (n штук)

но так нельзя!

Функционал зависит от одного аргумента

Вводим только 1 значение :

Функционал, зависящий от одного векторного аргумента

- вариация

Условие экстремума функционала:

Какое бы приращение аргумента мы ни взяли

Частный случай тоже

Исчезнет вся сумма и останется

Выбраны y зависит только от х.

Продифференцируем по частям

Воспользуемся основной леммой вариационного исчисления.

2)

n)

......................... cистема из n уравнений Эйлера

В каждое уравнение входят абсолютно все аргументы y₁,...,y_n (так как F(y₁,...,y_n))

решаем систему совместно

Пример 1:

Пример 2:

Не зависит от y₂

Замечание: Что, если есть еще и старшие производные переменного аргумента

С помощью переобозначений приведем к функциональной зависимости от первой производной.

Но можно записать уравнение Эйлера-Пуассона для каждой выбранной функции.