1.4. Развернутая форма записи числа

Из курса математики известно, что цифры десятичной записи числа – это коэффициенты при представлении числа в виде суммы степеней основания системы счисления. Например:

246079 = 2*100000 + 4*10000 + 6*1000 + 0*100 + 7*10 + 9*1 =

= 2*10⁵ + 4*10⁴ + 6*10³ + 0*10² + 7*10¹ + 9*10⁰

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе – разрядностью. Числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого положительного натурального числа – основания системы счисления.

Развернутой формой записи числа называется запись:

а_n…а₃а₂а₁а₀ = а_n*qⁿ +…+ a₃*q³ + a₂*q² + a₁*q¹ + a₀*q⁰,

где а_n,_…,а₃,а₂,а₁,а₀ –цифры числа, q –основание степени.

Пример 1.

Записать в развернутой форме число 97512₁₀.

Решение: а₄ = 9, а₃ = 7, а₂ = 5, а₁ = 1, а₀ = 2, q=10

_{4 3 2 1 0}

97512₁₀ = 9*10⁴ + 7*10³ + 5*10² + 1*10¹ + 2*10⁰

Пример2.

Записать в развернутой форме число 112₃.

Решение: _{2 1 0}

112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления

Порядок перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример1.

Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

Решение:

Ответ: 26₁₀=11010₂

Пример2.

Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления (Х₁₀→Х₃).

19

18

1

3

Р

6

6

0

3

ешение:

2

Ответ: 19₁₀=201₃

Пример3.

Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления (Х₁₀→Х₈).

Решение:

Ответ: 241₁₀=361₈

Пример4.

Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Х₁₀→Х₁₆).

Решение:

В шестнадцатеричной системе счисления 14₁₀ – Е, а 11₁₀ – В, получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

Задание для самостоятельной работы .

Перевести числа из десятичной системы счисления в указанную:

1) 245₁₀→Х₂ 5) 404₁₀→Х₈

2) 1987₁₀→Х₂ 6) 673₁₀→Х₁₆

3) 161₁₀→Х₃ 7) 45348₁₀→Х₁₆

4) 333₁₀→Х₅ 8) 444₁₀→Х₇

2.2. Перевод дробных чисел, у которых целая часть равна нулю, из десятичной системы счисления в другие системы счисления

Порядок перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность.

2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример1.

Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀=0,1001₂

Пример2.

Перевести 0,5625₁₀ в восьмеричную систему счисления (Х₁₀→Х₈).

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈

Пример3.

Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

Р

0, 665

* 2

1 330

* 2

0 660

* 2

1 320

* 2

0 640

* 2

1 280

…………..

* 2

0 5000

* 2

1 0000

ешение:

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Его прерывают, когда получена требуемая точность представления числа.

Ответ: 0,665₁₀=0,10101₂

Задание для самостоятельной работы.

Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:

1) 0, 65625₁₀→Х₁₆

2) 0,7₁₀→Х₂ с точностью до 4 знаков после запятой

3) 0,4125₁₀→Х₈  с точностью до 6 знаков после запятой