2.4. Пример выполнения работы

Вариант 25.

Текст, указанный в треугольных скобках – <текст> – является пояснением к формульным преобразованиям. Конъюнкция обозначена как умножение: x&y=xΛy=x·y=xy. Сложение по модулю 2 (Исключающее ИЛИ) обозначено операцией сложения: x+y.

В формульных преобразованиях при упрощении выражений используются эквивалентные формулы для следующих операций:

- x→y=⌐xVy <импликация>,

- x↓y=⌐x⌐y <стрелка Пирса>,

- x│y=⌐xV⌐y <штрих Шеффера>,

- x↔y=xyV⌐x⌐y <эквивалентность>,

- x+y=x⌐yV⌐xy <сложение по модулю 2>.

1. Составление таблиц истинности формул.

F1=x↔(y(⌐y→x)= <импликация>=x↔(y(⌐⌐yVx)=<эквивалентность>=

x(y(⌐⌐yVx)V⌐x⌐(y(⌐⌐yVx).

Представим выражение F1 в виде последовательности простых формул f для получения таблицы истинности (табл. 19):

f1=⌐y, f2=f1=⌐⌐y, f3=f2Vx=⌐⌐yVx,

f4=yf3=y(⌐⌐yVx), f5=⌐f4=⌐(y(⌐⌐yVx)), f6=⌐x,

f7=xf4=x(y(⌐⌐yVx)), f8=f6f5=⌐x(⌐(y(⌐⌐yVx))), F1=f7Vf8.

x	y	f1= ⌐y	f2= ⌐f1	f3= f2Vx	f4= yf3	f5= ⌐f4	f6= ⌐x	f7= xf4	f8= f6f5	F1= f7Vf8
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	Л	Л	И	Л	И

Таблица 19.

F2=xV(⌐y+(z↓⌐(x│y)))=<штрих Шеффера>=xV(⌐y+(z↓⌐(⌐xV⌐y)))=

=<стрелка Пирса>=xV(⌐y+(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)))=<сложение по модулю 2>=

=xV(⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))V⌐⌐y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))), (табл. 20).

f1=⌐x, f2=⌐y, f3=⌐z, f4=f1Vf2=⌐xV⌐y,

f5=f3⌐⌐f4=⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y), f6=⌐f5=⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)),

f7=f6f2=⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)), f8=yf5=y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)),

f9=f7Vf8=(⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)))V(y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))), F2=f9Vx.

x

y

z

f1= ⌐x

f2= ⌐y

f3= ⌐z

f4= f1Vf2

f5= f3⌐⌐f4

f6= ⌐f5

f7= f6f2

f8= f5y

f9= f7Vf8

F2= f9Vx

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

Таблица 20.

2) Проверка эквивалентности формул.

F1=x→(y↓z), F2=(x→y)↓(x→z).

а) Cоставление таблиц истинности.

F1=x→(y↓z)=<импликация>=⌐xV(y↓z)=<стрелка Пирса>=⌐xV(⌐y⌐z), (табл. 21).

f1=⌐x, f2=⌐y, f3=⌐z, f4=f2f3=⌐y⌐z, F1=f1Vf4.

x	y	z	f1= ⌐x	f2= ⌐y	f3= ⌐z	f4= f2f3	F1= f1Vf4
Л	Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И	Л	Л	И
Л	И	Л	И	Л	И	Л	И
Л	И	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	И	И	Л	Л	Л	Л	Л

Таблица 21.

x	y	z	f1= ⌐x	f2= ⌐y	f3= ⌐z	f4= f1Vy	f5= f1Vz	f6= ⌐f4	f7= ⌐f5	F2= f6f7
Л	Л	Л	И	И	И	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	Л	И	И	И	Л	Л	Л
Л	И	И	И	Л	Л	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	И	И	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	Л

Таблица 22.

F2=(x→y)↓(x→z)=<импликация>=(⌐xVy)↓(⌐xVz)=<стрелка Пирса>=

=⌐(⌐xVy)⌐(⌐xVz), (табл. 22).

f1=⌐x, f2=⌐y, f3=⌐z, f4=f1Vy=⌐xVy, f5=f1Vz=⌐xVz, f6=⌐f4=⌐(⌐xVy), f7=⌐f5=⌐(⌐xVz), F2=f6f7.

Функции F1 и F2 не эквивалентны.

б) Приведение формул к СДНФ или СКНФ.

Упрощение:

F1=x→(y↓z)=<импликация>=⌐xV(y↓z)=⌐xV(⌐y⌐z)=<стрелка Пирса>=

=⌐xV⌐y⌐z,

F2=(x→y)↓(x→z)=<импликация>=(⌐xVy)↓(⌐xVz)=<стрелка Пирса>=

=⌐(⌐xVy)⌐(⌐xVz)=(⌐⌐x⌐y)(⌐⌐x⌐z)==x⌐yx⌐z=x⌐y⌐z.

СДНФ:

F1=⌐xV⌐y⌐z=⌐x(yV⌐y)V⌐y⌐z(xV⌐x)=

=⌐xyV(zV⌐z)V⌐x⌐yV(zV⌐z)V⌐y⌐zxV⌐y⌐z⌐x=

=⌐xyzV⌐xy⌐zV⌐x⌐yzV⌐x⌐y⌐zV⌐y⌐zxV⌐y⌐z⌐x=<поглощение>=

=⌐xyzV⌐xy⌐zV⌐x⌐yzV⌐x⌐y⌐zVx⌐y⌐z,

F2=x⌐y⌐z.

Функции F1 и F2 не эквивалентны.

СКНФ:

F1=⌐xV⌐y⌐z=(⌐x)V(⌐y⌐z)=(⌐xV⌐y)(⌐xV⌐z)=((⌐xV⌐y)Vz⌐z)((⌐xV⌐z)Vy⌐y)=

=(⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(⌐xV⌐zVy)(⌐xV⌐z⌐y)=

=(⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(⌐xVyV⌐z),

F2=x⌐y⌐z=(x)(⌐y)(⌐z)=(xVy⌐y)(⌐yVx⌐x)(⌐zVy⌐y)=

=(xVy)(xV⌐y)(⌐yVx)(⌐yV⌐x)(⌐zVy)(⌐zV⌐y)=

=((xVy)Vz⌐z)((xV⌐y)Vz⌐z)((⌐yVx)Vz⌐z)((⌐yV⌐x)Vz⌐z)((⌐zVy)Vx⌐x)((⌐zV⌐y)x⌐x)=

=(xVyVz)(xVyV⌐z)(xV⌐yVz)(xV⌐y⌐z)(⌐yVxVz)(⌐yVx⌐z)(⌐yV⌐xVz)(⌐yV⌐x⌐z)(⌐zVyVx)(⌐zVy⌐x)(⌐zV⌐yVx)(⌐zV⌐y⌐x)=<поглощение>=

=(xVyVz)(xVyV⌐z)(xV⌐yVz)(xV⌐y⌐z)(⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐y⌐z)(⌐xVy⌐z).

Функции F1 и F2 не эквивалентны.

3) Приведение формулы к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, полиному Жегалкина.

Упрощение:

F=(⌐(x↔y)→⌐z)│y=<штрих Шеффера>=⌐(⌐(x↔y)→⌐z)V⌐y=

=<эквивалентность>=⌐(⌐(xyV⌐x⌐y)→⌐z)V⌐y=<импликация>=

=⌐(⌐⌐(xyV⌐x⌐y)V⌐z)V⌐y=⌐(xyV⌐x⌐yV⌐z)V⌐y=<закон де Моргана>=

=(⌐(xy)⌐(⌐x⌐y)⌐(⌐z))V⌐y=<закон де Моргана>=

=(⌐xV⌐y)(⌐⌐xV⌐⌐y)zV⌐y=(⌐xV⌐y)(xVy)zV⌐y=(⌐xV⌐y)(xzVyz)V⌐y=

=(⌐xxzV⌐yxzV⌐xyzV⌐yyz)V⌐y=x⌐yzV⌐xyzV⌐y=<поглощение>=⌐xyzV⌐y

ДНФ: F=⌐xyzV⌐y, (табл. 23).

KНФ: F=⌐xyzV⌐y=(⌐x)(y)(z)V⌐y=(⌐xV⌐y)(yV⌐y)(zV⌐y)=<поглощение>=(⌐xV⌐y)(⌐yVz).

СДНФ: F=⌐xyzV⌐y=⌐xyzV⌐y(xV⌐x)=⌐xyzV⌐yxV⌐y⌐x=

=⌐xyzVx⌐y(zV⌐z)V⌐x⌐y(zV⌐z)=⌐xyzVx⌐yzVx⌐y⌐zV⌐x⌐yzV⌐x⌐y⌐z.

СKНФ: F=(⌐xV⌐y)(zV⌐y)=((⌐xV⌐y)Vz⌐z)((⌐yVz)Vx⌐x)=

=(⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(xV⌐yVz)(⌐xV⌐yVz)=<поглощение>=

=(⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(xV⌐yVz).

x	y	z	f1= ⌐x	F2= ⌐y	f3= f1yz	F= f2Vf3
Л	Л	Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	И
И	И	Л	Л	Л	Л	Л
И	И	И	Л	Л	Л	Л

Таблица 23.

Полином Жегалкина в общем виде: F=c0+c1x+c2y+c3z+c4xy+c5xz+c6yz+c7xyz.

F(0,0,0)=1=c0+c1∙0+c2∙0+c3∙0+c4∙0∙0+c5∙0∙0+c6∙0∙0+c7∙0∙0∙0=

=c0+0+0+0+0+0+0+0, c0=1,

F(0,0,1)=1=1+c1∙0+c2∙0+c3∙1+c4∙0∙0+c5∙0∙1+c6∙0∙0+c7∙0∙0∙1=

=1+0+0+c3+0+0+0+0, c3=0,

F(0,1,0)=0=1+c1∙0+c2∙1+0∙0+c4∙0∙1+c5∙0∙0+c6∙1∙0+c7∙0∙1∙0=

=1+0+c2+0+0+0+0+0, c2=1,

F(1,0,0)=1=1+c1∙1+1∙0+0∙0+c4∙1∙0+c5∙1∙0+c6∙0∙0+c7∙1∙0∙0=

=1+c1+0+0+0+0+0+0, c1=0,

F(0,1,1)=1=1+0∙0+1∙1+0∙1+c4∙0∙1+c5∙0∙1+c6∙1∙1+c7∙0∙1∙1=

=1+0+1+0+0+0+c6+0, c6=1,

F(1,0,1)=1=1+0∙1+1∙0+0∙1+c4∙1∙0+c5∙1∙1+1∙0∙1+c7∙1∙0∙1=

=1+0+0+0+0+c5+0+0, c5=0,

F(1,1,0)=0=1+0∙1+1∙1+0∙0+c4∙1∙1+0∙1∙0+1∙1∙0+c7∙1∙1∙0=

=1+0+1+0+c4+0+0+0, c4=0,

F(1,1,1)=0=1+0∙1+1∙1+0∙1+0∙1∙1+0∙1∙1+1∙1∙1+c7∙1∙1∙1=

=1+0+1+0+0+0+1+c7, c7=1,

Полином Жегалкина для данной функции: F=1+y+yz+xyz.

4) Нахождение сокращенной, тупиковых и минимальных ДНФ булевой функции f(x,y,z). f(0,1,1)=f(0,1,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=1.

а) Метод Квайна:

f(x,y,z)=⌐xyzV⌐xy⌐zVx⌐yzVxyz=<неполное склеивание>=

=⌐xyzV⌐xy⌐zVx⌐yzVxyzV⌐xyVyzVxz=<поглощение>=⌐xyVyzVxz.

б) Карта Карно (табл. 24). f(x,y,z)=⌐xyVyzVxz.

	⌐y	y		⌐y
	⌐x		x
⌐z	0	1	0	0
Z	0	1	1	1

Таблица 24.

в) Метод Квайна-МакКлоски (табл. 25). f(x,y,z)=⌐xyVyzVxz.

Матрица Квайна (табл. 26). МДНФ: f(x,y,z)=⌐xyVxz.

	3	2	1
011	010 +	01*
010	011 +	*11
101	101 +	1*1
111	111 +

Таблица 25.

	01*	*11	1*1
011	*	*
010	*
101			*
111		*	*

Таблица 26.

Классы Поста:

P0: f(0,0,0)=0, P0=1,

P1: f(1,1,1)=1, P1=1,

Ps: f(x,y,z)=⌐f(⌐x,⌐y,⌐z),

f(0,0,0)=0 = ⌐f(⌐0,⌐0,⌐0)=⌐f(1,1,1)=⌐1=0,

f(0,0,1)=0 <> ⌐f(⌐0,⌐0,⌐1)=⌐f(1,1,0)=⌐0=1, Ps=0,

Pm: f(0,1,0)=1, f(1,1,0)=0, Pm=0,

Pl: f(x,y,z)=⌐xyVxz=(x+1)yVxz=y+xy+xz, Pl=0,

P0=1, P1=1, Ps=0, Pm=0, Pl=0.

5) Минимизация по картам Карно.

f(x1,x2,x3,x4)=(0011 1101 0010 1100).

Таблица истинности (табл. 27). Карта Карно (табл. 28).

f(x,y,z)=x2⌐x3V⌐x1x3x4V⌐x1x2x4V⌐x1⌐x2x3V⌐x2x3x⌐x4.

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
x1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
x2	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
x3	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
x4	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
F	0	0	1	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0

Таблица 27.

		⌐x2	x2		⌐x2
		⌐x1		x1
⌐x4	⌐x3	0	1	1	0
X4		0	1	1	0
	x3	1	1	0	0
⌐x4		1	0	0	1

Таблица 28.

	*10*	0*11	01*1	001*	*010
0010				*	*
0011		*		*
0100	*
0101	*		*
0111		*	*
1010					*
1100	*
1101	*

Таблица 29.

Матрица Квайна (табл. 29).

МДНФ: f(x,y,z)=x2⌐x3V⌐x1x3x4V⌐x2x3x⌐x4.

6) Полнота системы булевых функций J={xV⌐y, ⌐x↔y}.

F1=xV⌐y, F2=⌐x↔y. Таблица истинности (табл. 30).

x	y	F1	F2
0	0	1	0
0	1	0	1
1	0	1	1
1	1	1	0

Таблица 30.

Классы Поста:

F1:

P0: F1(0,0)=1, P0=0,

P1: F1(1,1)=1, P1=1,

Ps: F1(x,y)=⌐F1(⌐x,⌐y),

F1(0,0)=1 <> ⌐F1(⌐0,⌐0)=⌐ F1(1,1)=⌐1=0, Ps=0,

Pm: F1(0,0)=1, F1(0,1)=0, Pm=0,

Pl: F1(x,y)=xV⌐y=xV(1+y)=(xV1)+(xVy)=1+(xVy)=1+x+y+xy, Pl=0.

F2:

P0: F1(0,0)=0, P0=1,

P1: F1(1,1)=0, P1=0,

Ps: F1(x,y)=⌐F1(⌐x,⌐y),

F1(0,0)=0 <> ⌐F1(⌐0,⌐0)=⌐ F1(1,1)=⌐0=1, Ps=0,

Pm: F1(1,0)=1, F1(1,1)=0, Pm=0,

Pl: F1(x,y)=⌐x↔y=⌐xyVx⌐y=⌐xy+x⌐y+⌐xyx⌐y=⌐xy+x⌐y=

=(1+x)y+x(1+y)=y+xy+x+xy=x+y, Pl=1.

	P0	P1	Ps	Pm	Pl
F1	-	+	-	-	-
F2	+	-	-	-	+

Таблица 31.

По теореме Поста (табл. 31) система J={xV⌐y, ⌐x↔y} является базисом.