7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОУ «КАМСКИЙ ИНСТИТУТ ГУМАНИТАРНЫХ И ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

КАФЕДРА «ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ЗАЩИТА ИНОФОРМАЦИИ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

ИЖЕВСК 2007

УДК 519.1.075

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры Математического анализа УдГУ, Ирисов А.Е.

Рассмотрено на заседании кафедры и рекомендовано к изданию

Протокол №______ от ______________________

Зав. кафедрой ___________________________________

Составитель: к.т.н. А.В. Коробейников

Методические указания предназначены для выполнения контрольных работ по исследованию графов и булевых функций.

В части исследования булевых функций рассматривается построение таблиц истинности функций, эквивалентные преобразования формул, минимизация булевых функций различными методами, построение полиномов Жегалкина и полнота систем булевых функций.

В части исследования графов для направленных и ненаправленных графов рассматриваются матрицы инцидентности и смежности, свойства графов (диаметр, радиус, компоненты связности, мосты, точки сочленения и другие), цикломатическая матрица, планарность и раскраска графов, нахождение компонент сильной связности и конденсация графов.

Методические указания содержат варианты заданий и примеры выполнения контрольных работ.

Предназначены для студентов специальности 230105 – «Программное обеспечение ВТ и АС», изучающих дисциплину «Дискретная математика».

Ил. 6. Табл. 31. Библиограф.: 2 назв.

©Коробейников А. В.

©НОУ «Камский институт гуманитарных и инженерных технологий»

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Дискретная математика» объединяет тесно связанные между собой различные разделы математики, такие как: теория графов, теория множеств, исчисление высказываний, теория булевых функций, комбинаторика, теория алгоритмов.

Дискретная математика изучает дискретные или конечные множества и различные структуры на них. Это значит что понятия бесконечности, предела и непрерывности не являются её предметом изучения.

Дискретная математика имеет широкий спектр приложений, прежде всего в областях, связанных с информационными технологиями и компьютерами. В самом первоначальном названии компьютера – «электронная цифровая вычислительная машина» – слово «цифровая» указывает на принципиально дискретный характер работы. Задачи дискретной математики тесно связаны с компьютерными проблемами и выражаются в виде различных алгоритмов.

Дискретная математика стала активно развиваться с начала ХХ века, когда стали изучаться возможности формализации математики и были получены фундаментальные результаты в области математической логики. Это результаты Поста, Клини, Гёделя. Тесно связаны с математической логикой исследования начала ХХ века в области теории алгоритмов Тьюринга, Поста и Чёрча. Информатизация и компьютеризация во второй половине ХХ века в значительной степени стимулировали развитие дискретной математики.

Данные методические указания содержат варианты заданий и примеры выполнения контрольных работ по основным разделам курса «Дискретная математика»: исследование графов и булевых функций.

1. Контрольная работа «исследование графов»

1. Цель работы

Целью работы является закрепление теоретических знаний и проверка уровня усвоения теории по разделу «Теория графов» путем выполнения практической работы.

1.2. Задание на выполнение работы

1) Для неориентированного графа выполнить следующие операции:

а) построить диаграмму графа;

б) определить является ли граф мульти-графом или псевдо-графом;

в) построить матрицу инцидентности;

г) построить матрицу смежности;

д) определить максимальную и минимальную степени вершин;

е) определить диаметр и радиус графа;

ж) найти множество центральных вершин;

з) определить число компонент связности графа;

и) определить наличие точек сочленения и мостов в графе;

к) определить вершинную и реберную связность графа;

л) найти цикломатическое число;

м) построить базисную цикломатическую матрицу;

н) построить цикломатическую матрицу (15-20 циклов);

о) определить толщину графа;

п) выделить планарные подграфы;

р) раскрасить вершины и ребра графа.

2) Для ориентированного графа выполнить следующие операции:

а) построить диаграмму графа;

б) построить матрицу инцидентности;

в) построить матрицу смежности;

г) определить максимальную и минимальную полу-степени вершин;

д) определить является ли граф сильно-, односторонне- или слабо- связным;

е) найти компоненты сильной связности графа;

ж) построить конденсацию графа.

1.3. Варианты заданий

Задан ориентированный (направленный) граф, состоящий из 10 вершин и 17…20 ребер. Для каждого варианта приведена таблица, содержащая функции инцидентности ребер.

1.	2	3
	9	1
	5	7
	9	7
	8	10
	7	6
	4	5
	2	2
	2	7
	2	8
	5	4
	9	1
	5	5
	9	8
	5	8
	5	10
	5	9
	5	4
	10	7
	1	8
2.	2	8
	10	6
	6	8
	7	5
	3	2
	6	8
	10	10
	4	9
	7	8
	4	5
	7	2
	7	7
	4	4
	5	2
	7	6
	9	9
	4	7
	5	10
	6	10
	6	1
3.	4	8
	6	5
	3	10
	6	1
	1	6
	6	3
	8	9
	10	4
	8	7
	8	1
	5	4
	7	5
	9	5
	1	6
	10	7
	10	2
	7	9
	3	8
	9	8
	6	9
4.	7	9
	3	7
	3	8
	7	1
	6	5
	1	4
	1	2
	3	9
	5	9
	5	5
	10	10
	6	2
	4	9
	5	8
	6	5
	2	7
	9	10
	10	7
	6	3
	1	4
5.	2	3
	5	4
	5	6
	5	8
	7	4
	1	2
	4	5
	7	5
	2	1
	7	7
	3	8
	6	3
	6	3
	5	8
	6	8
	10	10
	4	5
	5	10
	4	5
	5	9
6.	9	3
	2	8
	4	6
	6	10
	8	8
	6	3
	5	5
	5	2
	1	10
	5	4
	4	1
	4	8
	9	9
	8	3
	10	3
	6	10
	1	2
	6	10
	9	8
7.	3	6
	5	10
	1	3
	9	9
	6	2
	4	1
	4	3
	9	10
	4	1
	1	3
	2	10
	1	3
	6	5
	2	3
	6	7
	2	10
	8	8
	4	7
8.	2	7
	1	9
	3	6
	2	10
	1	8
	9	2
	2	9
	1	2
	8	7
	6	7
	3	8
	4	4
	1	5
	9	5
	9	7
	3	2
	6	1
	2	8
	6	6
9.	2	9
	2	9
	5	7
	5	5
	1	1
	10	9
	2	2
	4	5
	4	1
	2	4
	9	9
	4	9
	8	4
	5	9
	4	5
	6	6
	2	7
	6	7
10.	6	10
	8	6
	6	7
	7	8
	10	2
	9	1
	4	6
	6	1
	2	5
	3	2
	9	8
	7	7
	1	1
	6	9
	5	8
	10	10
	3	8
	1	4
	5	4
11.	6	2
	8	2
	8	3
	5	2
	9	2
	5	5
	3	8
	6	3
	7	3
	7	10
	10	1
	8	6
	8	6
	9	7
	10	4
	6	3
	7	5
	8	3
12.	4	2
	6	7
	2	10
	2	4
	3	6
	6	7
	5	1
	10	10
	3	9
	5	7
	6	5
	8	8
	2	7
	10	3
	10	9
	1	2
	8	3
	10	1
	9	4
13.	10	3
	9	7
	3	1
	1	3
	1	7
	6	4
	8	4
	9	8
	7	10
	3	2
	2	1
	7	2
	10	2
	9	10
	10	2
	4	7
	3	3
	6	3
14.	10	10
	4	7
	8	1
	10	6
	6	4
	9	3
	8	2
	4	1
	8	1
	2	8
	10	1
	2	9
	8	4
	7	8
	2	10
	1	2
	3	2
	10	4
	10	1
15.	1	2
	8	10
	10	8
	2	9
	7	5
	2	5
	4	3
	2	1
	3	3
	4	2
	2	10
	3	2
	10	1
	4	4
	6	7
	1	9
	1	6
	2	2
16.	1	10
	4	5
	7	9
	1	7
	8	4
	10	7
	8	4
	8	10
	3	5
	2	1
	3	7
	8	6
	10	3
	7	8
	6	1
	9	10
	9	3
17.	4	2
	3	5
	1	1
	1	5
	5	9
	9	4
	9	3
	1	4
	8	8
	9	7
	8	10
	10	9
	7	5
	8	7
	4	1
	9	6
	4	5
	1	9
	8	9
	10	5
18.	8	9
	7	5
	1	8
	2	2
	5	1
	1	4
	3	4
	4	5
	9	10
	4	4
	3	3
	5	6
	9	6
	2	2
	6	5
	5	5
	4	9
19.	6	1
	7	7
	2	5
	2	1
	5	4
	6	3
	3	10
	8	7
	4	9
	1	7
	6	8
	6	5
	3	10
	1	1
	10	6
	3	6
	3	3
	1	4
	7	1
20.	9	8
	2	4
	2	5
	1	1
	9	6
	2	4
	9	8
	6	8
	10	4
	2	3
	1	4
	4	10
	5	5
	5	4
	5	8
	4	4
	10	10
21.	6	1
	1	4
	8	7
	1	10
	7	5
	10	2
	4	5
	8	10
	7	4
	10	4
	3	8
	6	3
	10	2
	3	7
	6	3
	7	5
	5	9
	5	9
22.	10	1
	5	8
	2	8
	8	7
	9	9
	2	4
	1	4
	5	4
	1	8
	7	2
	10	9
	5	5
	6	8
	1	10
	5	4
	5	8
	3	7
23.	10	10
	7	7
	8	3
	1	9
	8	10
	7	2
	2	7
	6	3
	3	7
	6	5
	1	10
	6	3
	5	7
	2	4
	1	5
	1	5
	4	8
24.	5	1
	5	7
	10	8
	9	1
	7	2
	4	9
	9	8
	10	6
	4	7
	10	10
	5	6
	1	8
	3	7
	7	10
	5	1
	1	10
	2	3
25.	8	4
	3	1
	5	4
	10	7
	7	1
	5	8
	9	7
	2	6
	2	1
	2	9
	7	2
	7	6
	4	1
	6	4
	5	7
	1	8
	5	3