7. Уравнение неразрывности

Задача 4.7.1. Из интегрального уравнения

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью , получить дифференциальное уравнение неразрывности, рассуждая так же, как в случае материального объема .

Задача 4.7.2. Показать, что поле скоростей , где и – произвольная константа, удовлетворяет уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.

Задача 4.7.3. Для поля скоростей показать, что .

Задача 4.7.4. Записать уравнение неразрывности в эйлеровых переменных в прямоугольной декартовой системе координат, если: , а поле скоростей имеет вид:

Выразить через , .

8. Вектор напряжений. Тензор напряжений

Задача 4.8.1. Векторы напряжений и действуют в точке на площадках с нормалями и . Показать, что

.

Задача 4.8.2. Задан тензор напряжений в точке :

.

Определить вектор напряжения в точке на площадке с единичным вектором нормали .

Задача 4.8.3. Для вектора напряжений задачи 4.8.2 определить:

а) компоненту, перпендикулярную площадке;

б) модуль ;

в) угол между и .

Задача 4.8.4. Напряженное состояние в некоторой точке задано тензором напряжений

,

где , , – константы, а – некоторое значение напряжения. Определить константы , , и так, чтобы вектор напряжения на октаэдрической площадке с единичной нормалью

был равен нулю (октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями напряжений).

Задача 4.8.5. Показать, что закон преобразования тензора напряжений можно получить, воспользовавшись выражением для величины нормального напряжения на произвольной площадке, имеющей единичный вектор нормали .

Задача 4.8.6. Найти поверхности напряжений Коши в точке для следующих состояний напряжения:

а) всестороннее равномерное растяжение (сжатие):

, ;

б) одноосное растяжение (сжатие):

, ;

в) простой сдвиг

, ;

г) плоское напряженное состояние:

, , .

Задача 4.8.7. Показать, что для напряженного состояния, заданного тензором с матрицей поверхность напряжений Коши будет эллипсоидом, если , и имеют одинаковые знаки.

9. Уравнение импульсов

Задача 4.9.1. Получить дифференциальное уравнение импульсов, рассматривая интегральное уравнение

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью .

Задача 4.9.2. Получить дивергентную форму записи ускорения

.

Задача 4.9.3. Доказать формулу Громеки-Лэмба

.

Задача 4.9.4. Поле тензора напряжений в декартовых координатах задано матрицей

, .

Какими должны быть массовые силы, чтобы среда с заданной плотностью была в равновесии?

Задача 4.9.5. Пусть в декартовой системе координат тензор напряжений имеет компоненты

,

остальные компоненты равны нулю; , . Найти массовые силы, если известно, что среда находится в равновесии.

10. Уравнения кинетической и внутренней энергий

Задача 4.10.1. Получить дифференциальное уравнение баланса энергии, рассматривая интегральное уравнение

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью .

Задача 4.10.2. Решить стационарную задачу одномерной теплопроводности. Область имеет длину . Коэффициент теплопроводности и источник тепла имеют постоянные значения во всей области: , .

Температура на левой границе равна , а на правой границе тепло уходит в окружающую среду, имеющую температуру с коэффициентом теплоотдачи . Получить аналитическое решение для и вычислить значение тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.

Рис. 4.4.2

Задача 4.10.3. Рассмотреть задачу стационарной одномерной теплопроводности в полом цилиндре с постоянными и , описываемую уравнением

.

Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных известных температурах и . Отношение радиусов равно 4. Источниковый член задан выражением . Получить аналитическое решение. Посчитать плотность тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.