4. Главные значения и главные оси симметричного тензора второго ранга. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям

Задача 4.4.1. Найти главные оси и главные значения тензора второго ранга

.

Задача 4.4.2. Представить тензор в виде суммы симметричного и анти симметричного тензоров. Найти главные оси симметричной части тензора

.

Задача 4.4.3. Определить главные значения и главные оси тензора, имеющего следующую матрицу компонент:

а) , ; б) ; в) .

Задача 4.4.4. Найти главные значения и главные оси тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе следующую матрицу компонент:

а) ; б) .

Перейти в базис, в котором заданный тензор имеет диагональный вид.

5. Применение оператора Гамильтона к скалярным, векторным и тензорным величинам

Задача 4.5.1. Показать, что – вектор.

Задача 4.5.2. Для функции , где – постоянные, показать, что и . Упростить эти производные в случае . Вычислить .

Задача 4.5.3. Пользуясь индексными обозначениями, доказать векторные тождества: а) , б) .

Задача 4.5.4. Найти производную функции по направлению, заданному единичным вектором . (Использовать формулу для производной).

Задача 4.5.5. Пусть – декартов тензор второго ранга. Показать, что его производная по , т.е. является декартовым тензором третьего ранга.

Задача 4.5.6. Пусть и – произвольная функция . Показать, что: а) и б) , где штрихом обозначено дифференцирование по .

6. Вектор перемещения материальной частицы. Лагранжев тензор деформаций (Грина). Эйлеров тензор деформаций (Альманси). Выражение через перемещения

Задача 4.6.1. В результате перемещения частицы среды оказались в точках с координатами

,

относительно пространственной декартовой системы координат . Такая деформация называется однородным одноосным растяжением в направлении оси .

Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно и перпендикулярно координатной оси , при и при ?

Задача 4.6.2. Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти поле перемещения в лагранжевом и эйлеровом описании и вычислить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси.

Задача 4.6.3. а) Материальный элемент с началом в частице соответствует вектору . Зная компоненты тензора деформаций Грина в этой частице, найти относительное удлинение материального элемента в результате деформации.

б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти относительные удлинения материальных элементов, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси и при этом составляли углы с осью .

Задача 4.6.4. а) Два материальных элемента с началом в частице соответствуют векторам и . Зная компоненты тензора деформаций Грина в этой частице, найти, какой угол образуют материальные элементы после деформации.

б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти, какой угол образуют после деформации материальные элементы, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси и при этом составляли углы с осью .

Задача 4.6.5. Относительно совмещенных материальных осей и пространственных осей задано поле перемещений сплошной среды , , , где – константа. Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых координатах).

Задача 4.6.6. Для поля перемещений задачи 4.6.5 определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли: а) круг с границей в плоскости ; б) бесконечно малый куб, ребра которого лежат на осях координат и имеют длину . Нарисовать смещенное положение конфигурации для «а» и «б», если .

Задача 4.6.7. Некоторый объем сплошной среды испытывает деформацию , , , где – константа. Вычислить тензор и использовать его для определения лагранжева тензора конечных деформаций .

Задача 4.6.8. В случае поля перемещений задачи 4.6.7 вычислить

Рис. 4.4.1

квадрат длины сторон и и диагонали малого прямоугольника, изображенного на рисунке, после деформации.

Задача 4.6.9. Вычислить изменение квадрата длины линейного элемента задачи 4.6.8 и сверить результат с полученным по формуле , воспользовавшись тензором деформаций , найденным в задаче 4.6.7.

Задача 4.6.10. Дано поле перемещений , , , где – константа. Вычислить лагранжев тензор линейной деформации и эйлеров тензор линейной деформации . Сравнить и в случае, когда константа очень мала.

Задача 4.6.11. Для поля перемещений при ограничениях, принятых в теории малых деформаций (), определить тензор линейной деформации, тензор линейного поворота и вектор поворота в точке .

Задача 4.6.12. Для поля перемещений задачи 4.6.11 найти изменение длины, приходящееся на единицу начальной длины (относительное удлинение), в направлении в точке .