Приближенные способы получения дискретной передаточной функции.
Рассмотрим
определение дискретной передаточной
функции импульсной системы с непрерывной
частью в виде идеального интегрирующего
звена
.
При определении используется аппарат
разностных уравнений:
Дискретная
передаточная функция последовательного
соединения импульсного элемента и
идеального интегрирующего звена
определяется
как:
.
(24)
Однако такая замена обеспечивает точность численного интегрирования по методу трапеций. Более точная замена - это подстановка Тастина:
(25)
Такая подстановка обеспечивает точность численного интегрирования по методу трапеций.
Передаточные функции различных видов соединений звеньев.
При последовательном соединении двух непрерывных звеньев с импульсными элементами на выходе эквивалентная дискретная передаточная функция определяется следующим образом:
(26)
Рис. 3.14.
Если непрерывные звенья не разделены импульсным элементом, то эквивалентная передаточная функция равна z-преобразованию произведения их обычных передаточных функций:
(27)
Рис. 3.15.
Для некоторых последовательных соединений непрерывных и импульсных элементов эквивалентная передаточная функция в явном виде вообще не может быть записана. Для них можно лишь записать z-изображение выходного сигнала.
Если импульсный элемент включен после непрерывного звена, то z-изображение выходного сигнала определяется как :
(28)
Рис. 3.16.
Если импульсный элемент включен между непрерывными звеньями, то z-изображение выходного сигнала определяется как :
(29)
Рис. 3.17.
Реальные импульсные системы чаще всего представлены в следующем виде
Рис. 3.18.
Рис.3.19.
Для них дискретные передаточные функции имеют вид:
(30)
и
(31)
Фиксирующий элемент
Цифровые системы управления строятся по следующему принципу:
Рис. 3.20.
Где ЦР – цифровой
регулятор, представленный дискретной
передаточной функцией
;
Ф- фиксатор или фиксирующий элемент;
-
передаточная функция непрерывной части.
Функции цифрового
регулятора и фиксирующего элемента
реализуются с помощью вычислительных
средств. Задача фиксирующего элемента
преобразовать цифровую информацию в
непрерывный сигнал, которым можно
воздействовать на последующую непрерывную
часть системы управления. Обычно
желательно, чтобы сигнал после фиксатора
представлял
собой огибающую для последовательности
импульсов , то. Е. в интервале
фиксатор дожжен экстраполировать
значение амплитуды сигнала в момент
на весь i-тый
интервал. Отсюда второе название
фиксатора как экстраполятор
m-го
порядка.
Экстраполятор m-го
порядка реализует полиномиальную
экстраполяцию:
(32).
Коэффициенты
на основе амплитуд сигналов в предыдущие
моменты времени.
На практике широкое распространение получили экстраполяторы первого и нулевого порядка.
Экстраполятор первого порядка описывается полином первого порядка:
(33).
Коэффициенты
определяются следующим образом:
(34)
Сигнал
экстраполятор
первого порядка представлен на рис:
Рис. 3.21.
Экстраполятор нулевого порядка описывается полином нулевого порядка:
(35).
Коэффициент
определяется следующим образом:
(36)
Сигнал
экстраполятор
нулевого порядка представлен на рис:
Рис. 3.22.
Очевидно, что с точки зрения реализации предпочтительность имеет экстраполятор нулевого порядка. Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка:
(37)
Дискретная функция импульсной системы с фиксатором (рис.3.23.) определяется следующим образом:
(38)
Рис. 3.23.
Рис. 3.24.
Рассмотрим преобразование непрерывного сигнала при прохождении через импульсную систему, а именно через последовательное соединение импульсного элемента (ключа) и фиксирующего элемента (экстраполятор нулевого порядка) (рис. 3.25.) .
t
Рис. 3.26.