26. Производная сложной функции.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

27. Дифференцирование функции, заданной неявно.

Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

F(x0,y0) = 0 ;

частные производные F'x и F'y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;

F'y(x0,y0) ≠ 0 .

Тогда

уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x) , удовлетворяющую условию y(x0) = y0 .

функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0 .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:

условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;

из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0 .

28. Скалярное поле. Линии уровня. Производная по направлению.

Скалярное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие скалярная величина u(M), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также u(x,y,z) Поле может быть плоским, если u=u(x,y) , центральным (сферическим), если

u=u(Корень x^2 + y^2 + z^2) цилиндрическим, если

u=u(Корень x^2 + y^2)

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых u принимает постоянное значение. Их уравнение: u(x,y,z)=const . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: u(x,y)=const . В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.

Производная по направлению. Пусть L - единичный вектор с координатами (cos a, cosB, cos y), u(x,y,z) - скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле

29. Градиент и его свойства.

Пусть дана функция . U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области D.

Градиентом функции называется вектор проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным.

grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k

Свойства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

1.Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

2.Градиент ⊥ линиям уровня.

Доказательство: U=u(x,y) тогда gradU=UX1i+UX1j  тогда угловой коэффициент прямой совпадает с градиентом и будет равен. К1=tgα=(UY1/UX1)

Линией уровня называется линия на которой функция принимает постоянное значение u(x,y)=с.  Геометрический смысл градиента состоит в том что градиент указывает направление наибольшего изменения функции.