19. Однородные д.У с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 

     Характеристическое уравнение   - корни характеристического уравнения.      Общее решение  Все корни характеристического уравнения различные, тогда Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например , решение можно записать в виде   2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например,  имеет кратность k (остальные - простые), тогда Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

20, Линейные неоднородные д.У. Теорема об общем решении.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Рассмотрим ДУ (1) неоднородное, линейное, с постоянными коэффициентами: y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+ ^... + a_n-1 y^/ + a_n y = f (x), где a_i = const, i = 1,2,...,n,  . В предыдущих пунктах  мы рассмотрели замечательные свойства частных решений линейного ДУ и, в частности, фундаментальную систему решений, а также метод Эйлера, позволяющий быстро находить общее решение однородного ДУ, соответствующего ДУ(1).

Следующая теорема позволяет использовать эти знания для отыскания общего решения ДУ(1).

Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения: ,(3) где –  частное решение ДУ(1), y₀ –  общее решение соответствующего однородного ДУ (2): y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + ... +a_n y = 0, Докажем теорему для уравнения второго порядка y^// +py^/ + qy = f (x). (4) где p, q –  константы, f (x)  0.

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ: y^// +py^/+q = 0. (5)

Обозначим y₁, y₂ его линейно независимые частные решения и y₀ = c₁y₁ + c₂y₂ – его общее решение.)

Пусть –  какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные): . Перегруппируем: . Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y₀–  общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как –  частное решение ДУ (4). Теорема доказана. Теперь надо решить вопрос: как же найти частное решение ДУ (1).

22. Комплексные числа и действия над ними. Формы записи комплексных чисел, возведение в степень. И извлечение корня из комплексного числа.

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом: 1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂; 2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂); 3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁); 4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R. Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂). Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число  называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Определение комплексного числа: комплексное число - это упорядоченная пара действительных чисел. Если каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, то каждому комплексному числу соответствует точка координатной плоскости.

Комплексное число (0; 0) называют комплексным нулём.