3. Инегрирование рациональных дробей.

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то P(z)/Q(z) - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде:

P(z)/Q(z) = S(z) + R(z)/Q(z), где P(z) = Q(z) S(z) + R(z),a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как R(z)/Q(z) является правильной дробью.

Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов: 1) A/x-a, 2) A/(x-a)^n,

3) Ax+B/x^2 +px + q, 4) Ax+B/(x^2 +px + q)^n

Выясним, каким образом они интегрируются.

и

Теорема. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Следствие. Если P(z)/Q(z) - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена Q(z) будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.

Интегралы вида ∫sin^m x ⋅ cos^n xdx .

а). Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное чис-

ло, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с

помощью формулы sin^2 x + cos^2 x = 1 оставшуюся четную степень через

дополнительную функцию, переходим к табличному интегралу.

б). Если m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижаются с помощью тригонометрических формул:

cos^2 x = 1+cos2x/2 , sin^2 x = 1-cos2x/2, sinx cosx = ½* sin2x

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

5. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции.

О: Под криволинейной трапецией пониматся фигура D, которая имеет границу в данном случаеявляется f(x) является непрерывной. Вычислим площадь криволинейной трапеции. Для этого следует разделить отрезок [a,b] с помощью точек на n элементарных отрезков Отметимопределим случайные точкии отобразим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с высотами и основаниями. Площадь ступенчатой фигурыи определяет приблизительное значение площади криволинейной трапеции. В качестве точного значения площади запишем

Понятие определенного интеграла

Предположим, что на [a,b] определена функция n частей и запишем сумму которая именуется интегральной.

О: Под определенным интегралом (о.и.) от функциии от выбора

Обозначение: Числа f(x) именуют интегрируемой (по Риману) на [a,b].

Т. существования: При условии, что[a,b].

В соответствии с определением о.и. отметим, что интеграл имеет зависимость от вида f(x), пределов a и b, однако не зависит от символа обозначения переменной x, иначе выражаясь

6. Св-ва определенного интеграла

Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла:

1. Если f(x) и g(x), - произвольные числа, то функция и справедливо равенство:

2. Если f(x), то

3. Если f(x) и c, то f(x), f(x) и справедливо равенство:

4. Если f(x), и b>a, то справедливо неравенство:

5. Если f(x) и g(x), и b>a, то справедливо неравенство:

6. Если f(x) и , , b>a, то выполняются неравенства:

7. Если f(x), то , такое, что выполняется равенство: