Второй признак подобия треугольников

Определение: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и угол между этими

сторонами в первом и втором треугольнике равен, тогда эти треугольники подобны.

Доказательство: Пусть стороны и треугольника пропорциональны сторонам и треугольника . Преобразуем треугольник в подобный с коэффициентом подобия . Тогда у вновь полученного треугольника и треугольника будут две пары равных сторон и равны углы, заключенные между этими сторонами. Треугольники и равны по признаку равенства

треугольников, исходные же треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Определение: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Доказательство: Пусть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Преобразуем треугольник в подобный с коэффициентом подобия . Получившийся треугольник и Δ равны, из чего следует, что Δ подобен Δ.

Билет 32.

Вывод формулы площади треугольника .

Дан Δ. Достроим его до параллелограмма, обозначив четвертую вершину точкой . Треугольники равны по трем сторонам. Значит, параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников. Отсюда площадь одного из них равна половине площади параллелограмма. Так как площадь параллелограмма равна , то площадь прямоугольника .

Вывод формулы Герона

, где – угол, противолежащий стороне . По теореме косинусов: . Отсюда: . Значит:

Замечая, что , ,, , получаем:

. Отсюда , ч. т. д.

Билет 33.

Вывод формулы площади параллелограмма

Пусть – данный параллелограмм. Опустим перпендикуляр на прямую . Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника .

Опустим перпендикуляр на прямую . Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника .

Треугольники и равны, значит, имеют равную площадь, отсюда следует, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника , значит, она равна , где – высота данного параллелограмма.

Вывод формулы площади параллелограмма

Пусть в данном произвольном параллелограмме диагонали равны и , а угол между ними – . Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то очевидно, что параллелограмм состоит из четырех треугольников со сторонами и . Площадь этого параллелограмма может быть вычислена как сумма площадей данных треугольников. Так как площадь прямоугольника равна , то площадь параллелограмма равна =, что и требовалось доказать.

Билет 34.

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Вывод формулы площади трапеции

Пусть – данная трапеция. Диагональ разбивает ее на два данных треугольника: и . Следовательно, площадь трапеции равна сумме их площадей. Высоты и этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми и . Отсюда,

Теорема о четырех точках трапеции

Определение: В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон располагаются на одной прямой.

Доказательство: Для этого докажем, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам. Обозначим через и середины оснований и трапеции ; – точка пересечения ее диагоналей, – точка пересечения продолжений боковых сторон. Заметим, что точки , и лежат на одной прямой. Это следует из подобия треугольников и . В каждом из них отрезки и соответственно являются медианами, а значит, они делят угол при вершине на одинаковые части. Точно так же на одной прямой расположены точки , и . (Здесь это следует из подобия треугольников и .) Значит, все четыре токи , , и лежат на одной прямой, т.е. прямая проходит через и .

Билет 35.

Теорема Пифагора

Определение: Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.

Доказательство: Проведем высоту BH из угла B к стороне AC. Δ подобен Δ по двум углам. Аналогично, ΔΔ. Отсюда: . Теорема доказана.

Билет 36.

Теорема синусов

Определение: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство: Пусть дан треугольник со сторонами , и . Его площадь можно найти по формуле: . Из первых двух выражений получаем: . Отсюда, . Аналогично, . Следовательно, . Теорема доказана.

Билет 37.

Теорема косинусов

Определение: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон треугольника, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник . Из вершины на сторону опущена высота . Из треугольника следует, что и Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников и : (1)

(2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

, или .Аналогично, , и .