Билет 18.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. Доказательство: Пусть – параллелограмм. Диагональ делит его на два треугольника: Δи Δ. Эти треугольники равны по стороне и двум углам ( – общая, , – как накрест лежащие). Отсюда, . Теорема доказана.

   

2. В параллелограмме противоположные углы равны. Доказательство: аналогично свойству I.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство: Пусть – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Δ Δ по стороне и двум углам ( как вертикал., , как накрест лежащие). Отсюда , , ч. т. д.

   

   

Билет 19.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны. Доказательство: Рассмотрим прямоугольник . Δ Δ по двум катетам. Отсюда диагонали Обратное утверждение (признак): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Билет 20.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Особое свойство ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Доказательство: Рассмотрим ромб , требуется доказать, что , и что диагонали ромба делят его углы пополам. Докажем, например, что . Т. к. , то Δ – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то точкой пресечения его диагонали делятся пополам, значит – медиана равнобедренного треугольника , а значит его биссектриса и высота. Поэтому и .

Билет 21. Теорема Менелая

Определение: Если точки ,, лежат соответственно на сторонах , и треугольника Δ или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Доказательство: Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку Δ подобен Δ (по двум углам), тогда . Так как подобными так же являются Δ и Δ, то . Выразив из второй формулы и подставив в первую, получаем: . Остается заметить, что возможны два расположения точек , и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем: , что и требовалось доказать.

Билет 22. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

2. При проведении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5.

3. Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Обладает следующими свойствами:

1. средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

2. середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Билет 23.

Расстояние между двумя точками на плоскости

Определение:

Доказательство:

Расстояние между началом координат и заданной точкой:

Билет 24.

Окружностью называется геометрическое место точек,

равноудаленных от заданной.

Длина окружности:

Длина дуги окружности

Так как длина окружности равна , то длина дуги в равна . Отсюда дуги в градусов: .

Билет 25.

Построение треугольника по трем элементам

Задача: Построить треугольник с данными сторонами

Решение: Проведем луч и на нем отложим отрезок , равный . Раствором циркуля, равным , проведем дугу с центром в точке . Далее раствором циркуля, равным , проведем вторую дугу с центром в точке . Пусть – точка пересечения этих дуг. Соединив точку с точками и получим треугольник . Это и есть искомый треугольник, так как стороны равны данным отрезкам: .  Задача: Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение: Пусть даны отрезки , и угол . Построим угол , равный углу . С помощью циркуля на сторонах угла отложим отрезок , равный , и отрезок , равный . Соединив точки , получим искомый треугольник .

Задача: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

Решение: Пусть даны два угла с вершинами , и отрезок . Проведем прямую и на ней отложим отрезок , равный отрезку . На одной из полуплоскостей построим два угла. Один из этих углов равен углу и сторона угла сонаправлена с лучом , и соответственно второй угол равен углу и сторона угла сонаправлена с лучом . Вторые стороны этих углов пересекаются в точке . Полученный треугольник – искомый треугольник. 

Билет 26.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Построение биссектрисы угла

Из вершины данного угла, как из центра, опишем окружность произвольного радиуса. Пусть и – точки пересечения ее со сторонами угла. Построим еще две окружности с тем же радиусом с центрами в и . Пусть – точка их пересечения. Тогда – искомая биссектриса угла .

Билет 27.

Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным его гипотенузы и другого катета

Билет 28.

Построение прямой проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в данной точке . Пусть и – точки пересечения этой окружности данной прямой . Из точек и радиусом проведем окружность, точку пересечения этих двух окружностей обозначим через . Проведем прямую . Перпендикулярность прямых и следует из равенства треугольников и .

Билет 29.

Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.

Свойства вписанного четырехугольника

1. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

2. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

3. Площадь вписанного четырехугольника со сторонами можно вычислить по формулам: , где – полупериметр, – радиус окружности.

4. Диагонали вписанного четырехугольника равны:

Билет 30.

Построение окружности вписанной в треугольник

Построим биссектрисы хотя бы двух углов треугольника*. Из точки пересечения биссектрис проведем перпендикуляр** к любой из сторон треугольника. Тогда центр вписанной окружности будет лежать в точке пересечения биссектрис , а радиус этой окружности будет равен расстоянию от этой точки к стороне треугольника, то есть .

* см. Билет 26. ** см. Билет 28.

Построение окружности описанной вокруг треугольника

Найдем середины хотя бы двух сторон треугольника***. Из точек, являющихся серединами этих сторон, проведем перпендикуляры**. Точка пересечения серединных перпендикуляров будет являться центром описанной окружности. Радиусом будет являться расстояние от этой точки до любой из вершин треугольника.

*** см. Билет 46.

Билет 31.

III

II

I

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников

Определение: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство: Допустим, даны Δ и Δ такие, что . по теореме о сумме углов треугольника. Теперь найдем площадь первого треугольника: . Площадь второго треугольника можно найти по формуле . Но , значит и . Тогда: . Аналогично, Отсюда, , значит, треугольники подобны.