Условная вероятность

введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограни-

ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается

осуществление условий S.

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А

уже наступило.

Плотность распределения с.В.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х)— первую

производную от функции распределения F (х):

f (x) = F' (х).

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу {а, Ь), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до Ь:

Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+ Ѧ х), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ѧ х) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Ѧ х.

Билет № 7

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий Blt B2, ..., Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий

. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Подставив правые части этих равенств в соотношение (•), получим формулу полной вероятности

Коэффициент корреляции

Коэффициентом корреляции случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к

произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Так как размерность равна произведению размерностей величин X и У, имеет размерность величины

X, имеет размерность величины Y , то —безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю

Билет № 8