Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и а. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны

относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a

Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (X) = а, имеем

Введем новую переменную ,. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

Билет № 5

Теорема умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них

на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной вероятности ,

Отсюда

Замечание. Применив формулу (*) к событию В А, получим

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного

из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где —вероятность события Аn, вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трех событий

Заметим, что порядок, в котором расположены cобытия, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое

событие считать первым, вторым и т. д.

Функция распределения с.В.

целесообразно дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой

целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х—действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т. е.

вероятность события X < х, обозначим через F (х). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется

и F (х), т. е. F (х)—функция от х.

Функцией распределения называют функцию F (х), определяющую вероятность того, что случайная величина X

в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

Геометрически это равенство можно истолковать так:

F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси

точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с

непрерывной производной.

Билет № 6