Теорема Чебышева.

сущность теоремы – среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Билет № 3

Классическая Вероятностная модель.

Классическая вероятностная модель

включает в себя

1. Конечное пространство элементарных исходов

2. Наибольшую сигма-алгебру (содержащую все подмножества пространства элементарных исходов).

3. Равномерную вероятностную меру, приписывающую равные вероятности всем элементарным исходам.

Из описания модели следует, что

• Любое подмножество пространства элементарных исходов является событием

• Любой элементарный исход имеет вероятность

Для того чтобы вероятность была конечно аддитивна

Вероятность любого события можно определить как

Априори – a priori, до опыта, т.е. с самого начала анализа до получения опытных данных.

Применять эту модель следует в тех случаях, когда априори ясно, что все исходы опыта симметричны (равновероятны).

Рассмотрим подробнее построение модели. Исходные данные для построения требуют, чтобы каждый элементарный исход имел одинаковую вероятность. Естественно потребовать, чтобы любое подмножество элементарных исходов было событием. Так как элементарные исходы образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1, и из-за того, что все вероятности одинаковы, а количество элементарных исходов равно

имеем

Тогда для произвольного события A, используя конечную аддитивность вероятности получаем

Проверьте!

Нетрудно проверить, что так определенная функция P будет вероятностью, и что требованиям модели удовлетворяет только одна такая функция. Следовательно, математическая модель определена однозначно.

Теорема Бернулли

Билет № 4

Теорема сложения вероятностей

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из оруорудия произведены два выстрела и А—попадание при пер-

первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В— попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В—несовместные, то А + В—событие, состоящее в появлении одного из

этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Пусть события А и В—несовместные, причем вероятвероятности этих событий известны. Как найти вероятность

того, что наступит либо событие А, либо событие В?

Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Введем обозначения: n—общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 —

число исходов, благоприятствующих .событию А; m2 — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно

m1 + m2. Следовательно,

Приняв во внимание, что , окончательно получим

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично

какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.