Билет № 1

1. Аксиомы теории вероятностей

При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество , элементы которого называются элементарными событиями, а само - пространством элементарных событий.

Зафиксируем некоторую непустую систему S, состоящую из подмножества А, В, ... пространства элементарных событий. Подмножества А, В,... назовем событиями.

Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий:

I. Если множества ( в конечном или счетном числе) являются событиями, то их объединение тоже является событием.

II. Если множество является событием, то его дополнение до множества тоже является событием.

Система S, удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий.

Из аксиом I и II вытекает, что и если (i = 1, 2, …), то .

В дальнейшем операцию объединения событий будем называть сложением и обозначать знаком «+», операцию пересечения – умножением и обозначать знаком «-», а операцию <#40#>дополнения – переходом к противоположному событию<#41#> и выделять чертой сверху (например, ). Кроме того, событие назовем достоверным и обозначим U, - невозможным и обозначим V.

В новых обозначениях аксиомы I и II запишутся:

I.

II. . События A и B назовем несовместными, если АВ = V (т.е. ).

Аксиомы вероятностей:

1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью события A..

2. Если события попарно несовместны, то (аксиома счетной аддитивности).

3. .

Совокупность трех объектов , в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция – аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой.

Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

.

События А₁,А₂,...,А_к образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. .

События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АВ=. Если события несовместны, то

Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Неравенство Чебышева.

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Билет № 2

Случайные события.

  Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).