Задание №6

Задание: решить задачу дискретного программирования следующими методами:

а) методом Гомори;

б) методом ветвей и границ.

№	Задание
31	х1+4х2≥4 х1+х2≤6 3х2≤2 хi≥0 F=x1+3x2→max

Решение:

Для решения данной задачи изначально ее нужно привести к стандартному виду, а именно:

х₁+4х₂-4≥0

6-х₁-х₂≥0

2-3х₂≥0

Вводим дополнительные переменные:

х₁+4х₂-4=х₃

6-х₁-х₂=х₄

2-3х₂=х₅

Приводим уравнения в системе к такому виду, чтобы свободные коэффициенты в уравнениях были положительны. Т.е. получим следующую систему:

4-х₁-4х₂+х₃=0

6-х₁-х₂-х₄=0

2-3х₂-х₅=0

Составляем исходную симплексную таблицу, заполняя ее коэффициентами из системы уравнений:

№1	-x1	-x2	-x3	-x4	-x5
0	1	4	-1	0	0	4
0	1	1	0	1	0	6
0	0	3	0	0	1	2
L	-1	-3	0	0	0	0

Определяем в таблице разрешающий столбец. Разрешающим может быть такой столбец таблицы, в котором есть хотя бы один положительный элемент. Если таких столбцов несколько, то в качестве разрешающего принимается тот, нижним элементом которого является минимальный отрицательный элемент. В данной задаче в качестве разрешающего выбирается столбец (-х₂).

Определяем в разрешающем столбце таблицы разрешающий элемент. В качестве разрешающего элемента выбирают такой неотицательный, отношение к которому соответствующих коэффициентов из последнего столбца минимально. для данной задачи в разрешающем столбце есть два положительных элемента, а именно 4, 1 и 3. Для того, чтобы определить, какой из данных элементов является разрешающим, определяем соотношения с коэффициентами из крайнего столбца и выбираем минимальное:

min{4:4; 6:1; 2:3}=2:3

Следовательно, разрешающим элементом является 3 в разрешающем столбце (-х₂).

Строим следующую симплексную таблицу. Для этого х₂ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

Полученная симплексная таблица будет следующего вида:

№2	-x1	-x3	-x4	-x5
0	1	-1	0	-4/3	4/3
0	1	0	1	-1/3	16/3
x2	0	0	0	1/3	2/3
L	-1	0	0	1	2

Данную симплексную форму возможно максимизировать, поскольку в первом столбце еще остались нули, а в нижней строке отрицательные элементы. Следовательно, переходим к следующей симплексной таблице.

Осуществляем выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец (-х₃), т.к. в нем есть положительный элемент и в его нижней ячейке стоит отрицательный элемент. В качестве разрешающего элемента выбираем положительный элемент в этом столбце, а именно 2. Строим следующую симплексную таблицу, в которой производим перерасчет коэффициентов. Для этого х₃ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

№3	-x1	-x4
x2	-3/10	1/10	8/5
x3	-9/2	1/2	0
L	1/5	2/5	32/5

Данную симплексную форму невозможно максимизировать, поскольку в ее нижней строке все элементы положительны, первый столбец заполнен переменными и выполняется условие неотрицательности решения. Однако полученное решение не является целочисленным.

Для получения целочисленного решения методом Гомори необходимо произвести отсечение дробной части решения, добавив в систему уравнений дополнительные ограничения. Для этого выписываем из симплексной таблицы нецелочисленное решение в следующем виде:

х₂=8/5-(-3/10)x₁-(1/10)x₄

Проводим отсечение дробной части, предварительно преобразовав уравнение и вводя еще одну переменную:

{8/5}-{-3/10}x₁-{1/10}x₄- {1}х₂+x₅=0

Выполнив преобразования, получим следующее дополнительное уравнение-ограничение, которое добавляем в симплексную таблицу:

x₅=-3/5-(-7/10)x₁-(-1/10)x₄

Для решения поставленной задачи методом ветвей и границ задача разбивается на две подзадачи, каждая из которых состоит из исходных условий-ограничений, к которым добавлено одно дополнительное ограничение (выделение целой части решения):

1. х₂≤[8/5]+1

2. х₂≥[8/5]

Таким образом, согласно методу ветвей и границ, исходная задача разобъется на две подзадачи, каждая из которых представляет собой исходную плюс одно из полученных ограничений:

1. х₂≤2

2. х₂≥1

Решив каждую из подзадач, будет получено следующее допустимое решение и т.д. до получения оптимального.