Задание №4

Задание: Постороить двойственную задачу линейного программирования и решить ее симплексным методом, взяв за исходную задачу из задания 2 для соответствующего варианта. На основании полученного решения сделать выводы о взаимодвойственности задач на основании соответствующей теоремы.

Решение:

Исходная задача линейного программирования имеет вид:

х₁+4х₂≥4

х₁+х₂≤6

х₂≤2

х_i≥0

F=x₁+3x₂→max

Для построения двойственной задачи изначально исходную задачу необходимо привести к стандартному виду задачи максимизации, а именно:

-х₁-4х₂≤-4

х₁+х₂≤6

х₂≤2

Строим матрицу коэффициентов при переменных в системе:

| -1 -4 |

A =| 1 1 |

| 0 1 |

Проводим транспонирование полученной матрицы путем преобразования столбцов в строки:

| -1 1 0 |

А^Т= | -4 1 1 |

Элементы полученной матрицы используем как коэффициенты при переменных в построении двойственной задачи. Коэффициенты при переменных в целевой функции исходной задачи приравниваются свободным коэффициентам в уравнениях-ограничениях системы двойственной задачи. Свободные коэффициенты в уравнениях-ограничениях системы исходной задачи приравниваются коэффициентам при переменных в целевой функции двойственной задачи. Знаки неравенств в дойственной задаче меняются на противоположные по сравнению с исходной задачей. Направление целевой функции двойственной задачи противоположно направлению целевой функции исходной задачи. Исходя из всего выше перечисленного, получим следующую двойственную задачу:

-y₁+y₂≥1

-4y₁+y₂+y₃≥3

y_i≥0

Z=-4y₁+6y₂+2y₃→min

Для решения данной задачи симплексным методом необходимо произвести ряд следующих преобразований:

-y₁+y₂-1≥0

-4y₁+y₂+y₃-3≥0

Затем вводим дополнительные переменные:

-y₁+y₂-1=y₄

-4y₁+y₂+y₃-3=y₅

Таким образом, симплексным методом будем решать задачу следующего вида:

y₄+y₁-y₂+1=0

y₅+4y₁-y₂-y₃+3=0

y_i≥0

Z’=4y₁-6y₂-2y₃→max

Составляем исходную симплексную таблицу, заполняя ее коэффициентами из системы уравнений:

№1	-у1	-у2	-у3	-у4	-у5
0	-1	1	0	-1	0	1
0	-4	1	1	0	-1	3
Z’	-4	6	2	0	0	0

Определяем в таблице разрешающий столбец. Разрешающим может быть такой столбец таблицы, в котором есть хотя бы один положительный элемент. Если таких столбцов несколько, то в качестве разрешающего принимается тот, нижним элементом которого является минимальный отрицательный элемент. В данной задаче в качестве разрешающего выбирается столбец (-у₃).

Определяем в разрешающем столбце таблицы разрешающий элемент. В качестве разрешающего элемента выбирают такой неотицательный, отношение к которому соответствующих коэффициентов из последнего столбца минимально. для данной задачи в разрешающем столбце есть один положительный элемент, а именно 1.

Строим следующую симплексную таблицу. Для этого у₃ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

Полученная симплексная таблица будет следующего вида:

№2	-у1	-у2	-у4	-у5
0	-1	1	-1	0	1
у3	-4	1	0	-1	3
Z’	4	4	0	2	-6

Данную симплексную форму еще возможно максимизировать, т.к. в первом столбце еще остался один нуль. Следовательно переходим к построению следующей симплексной таблицы.

Осуществляем выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец (-у₂), т.к. в нем есть положительные элементы, в отличие от остальных столбцов таблицы. В качестве разрешающего элемента выбираем положительный элемент в этом столбце, причем с минимальным соотношением min{1:1; 3:1}=1:1, а именно 1. Строим следующую симплексную таблицу, в которой производим перерасчет коэффициентов. Для этого у₂ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

№3	-у1	-у4	-у5
у2	-1	-1	0	1
у3	-3	1	-1	2
Z’	8	4	2	-10

Данную симплексную форму невозможно максимизировать, поскольку в ее нижней строке все элементы положительны, первый столбец заполнен переменными и выполняется условие неотрицательности решения. Таким образом полученное симплексным методом решение задачи линейного программирования имеет следующий вид:

у₁=0 у₄=0

у₂=1 у₅=0

у₃=2 Z=-Z’=10

Вывод: теорема двойственности соблюдается, т.к., во-первых, и исходная, и двойственная задача имеет оптимальное решение, причем такое, что L_max=Z_min=10, во-вторых, количество ненулевых компонент оптимального решения исходной задачи соответствует количеству нулевых компонент оптимального решения двойственной задачи, а именно:

x₁=4 у₁=0

x₂=2 у₂=1

x₃=8 у₃=2

x₄=0 у₄=0

x₅=0 у₅=0