Задание № 2,3

Задание: Решить задачу линейного программирования следующими методами: а) графическим методом;

б) симплексным методом.

№	Задание
31	х1+4х2≥4 х1+х2≤6 х2≤2 хi≥0 F=x1+3x2→max

Решение задачи линейного программирования графическим методом:

1. Строим двумерную координатную плоскость, на которой по оси абсцисс будем отмечать х₁, а по оси ординат х₂.

2. На координатной плоскости строим прямую х₁+4х₂=4 и отмечаем ту полуплоскость, в которой выполняется неравенство х₁+4х₂≥4

   х1	х2
   0	1
   4	0

3. На координатной плоскости строим прямую х₁+х₂=6 и отмечаем ту полуплоскость, в которой выполняется неравенство х₁+х₂≤6

   х1	х2
   0	6
   6	0

4. На координатной плоскости строим прямую х₂=2 и отмечаем ту полуплоскость, в которой выполняется неравенство х₂≤2

5. На координатной плоскости отмечаем полуплоскость, отсекаемую от пространства уравнениями х₁≥0 и х₂≥0

6. Через центр координат строим основную прямую по целевой функции x₁+3x₂=0.

7. В центр координат на основную прямую опускаем направляющий перпендикуляр и смещаем основную прямую параллельно по ходу перпендикуляра.

8. Крайняя точка (последняя по ходу перпендикуляра) будет являться искомой точкой максимума. Обозначим данную точку А(х₁^*;х₂^*). Найдем координаты точки максимума как точки пересечения прямых х₂=2 и х₁+х₂=6.Тогда координаты точки А равны: х₁^*=4; х₂^*=2. Графическое изображение решения приведено на рисунке 1.

Рисунок 1.

Решение задачи линейного программирования симплексным методом:

1. Приводим систему уравнений задачи к стандартному виду:

х₁+4х₂-4≥0

6-х₁-х₂≥0

2-х₂≥0

2. Вводим дополнительные переменные х₃, х₄ и х₅ в полученную систему уравнений:

х₁+4х₂-4=х₃

6-х₁-х₂=х₄

2-х₂=х₅

3. Приводим уравнения в системе к такому виду, чтобы свободные коэффициенты в уравнениях были положительны. Т.е. получим следующую систему:

4-х₁-4х₂+х₃=0

6-х₁-х₂-х₄=0

2-х₂-х₅=0

4. Составляем исходную симплексную таблицу, заполняя ее коэффициентами из системы уравнений:

   №1	-x1	-x2	-x3	-x4	-x5
   0	1	4	-1	0	0	4
   0	1	1	0	1	0	6
   0	0	1	0	0	1	2
   L	-1	-3	0	0	0	0

5. Определяем в таблице разрешающий столбец. Разрешающим может быть такой столбец таблицы, в котором есть хотя бы один положительный элемент. Если таких столбцов несколько, то в качестве разрешающего принимается тот, нижним элементом которого является минимальный отрицательный элемент. В данной задаче в качестве разрешающего выбирается столбец (-х₂).

6. Определяем в разрешающем столбце таблицы разрешающий элемент. В качестве разрешающего элемента выбирают такой неотицательный, отношение к которому соответствующих коэффициентов из последнего столбца минимально. для данной задачи в разрешающем столбце есть два положительных элемента, а именно 4, 1 и 1. Для того, чтобы определить, какой из данных элементов является разрешающим, определяем соотношения с коэффициентами из крайнего столбца и выбираем минимальное:

min{4:4; 6:1; 2:1}=4:4

Следовательно, разрешающим элементом является 4 в разрешающем столбце (-х₂).

7. Строим следующую симплексную таблицу. Для этого х₂ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника: 1) строим условный прямоугольник, противолежащими вершинами которого являются пересчитываемый элемент и разрешающий элемент; 2) пусть вершины прямоугольника заданы в следующем виде: | a b |

| c d |,

где пересчитываемый элемент – а, разрешающий элемент – d. Тогда значение пересчитанного элемента а’= a – (b*c)/d.

Полученная симплексная таблица будет следующего вида:

№2	-x1	-x3	-x4	-x5
x2	1/4	-1/4	0	0	1
0	3/4	1/4	1	0	5
0	-1/4	1/4	0	1	1
L	-1/4	-3/4	0	0	3

Данную симплексную форму возможно максимизировать, поскольку в первом столбце еще остались нули, а в нижней строке отрицательные элементы. Следовательно, переходим к следующей симплексной таблице.

8. Осуществляем выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец (-x₃), т.к. в нем есть положительные элементы и в его нижней ячейке находится минимальный отрицательный элемент. В качестве разрешающего элемента выбираем положительный элемент в этом столбце, причем с минимальным соотношением min{5:1/4; 1:1/4}=1:1/4, а именно 1/4. Строим следующую симплексную таблицу, в которой производим перерасчет коэффициентов. Для этого х₃ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

№3	-x1	-x4	-x5
x2	0	0	1	2
0	1	1	-1	4
x3	-1	0	4	4
L	-1	0	3	6

Данную симплексную форму еще возможно максимизировать, т.к. в первом столбце еще остался один нуль, а в нижней строке еще остался один отрицательный элемент. Следовательно переходим к построению следующей симплексной таблицы.

9. Осуществляем выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец (-x₁), т.к. в нем есть положительный элемент и в его нижней ячейке находится отрицательный элемент. В качестве разрешающего элемента выбираем положительный элемент в этом столбце, а именно 1. Строим следующую симплексную таблицу, в которой производим перерасчет коэффициентов. Для этого х₁ переводим из разряда базисных переменных в разряд свободных переменных, т.е. переводим из столбца в строку. Разрешающий столбец удаляем из таблицы. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Все остальные элементы в таблице считаем по правилу прямоугольника.

№4	-x4	-x5
x2	0	1	2
x1	1	-1	4
x3	1	3	8
L	1	2	10

Данную симплексную форму невозможно максимизировать, поскольку в ее нижней строке все элементы положительны, первый столбец заполнен переменными и выполняется условие неотрицательности решения. Таким образом полученное симплексным методом решение задачи линейного программирования имеет следующий вид:

x₁=4 x₄=0

x₂=2 x₅=0

x₃=8 L=10

Вывод: полученное решение задачи линейного программирования графическим и симплексным методами совпадает, что свидетельствует о правильности полученного решения.