Прикдад виконання робіт Задание №1

Задание: Построить математическую модель задачи линейного программирования и определить наличие решений данной задачи.

№

Задача

31

Для изготовления трех видов изделий А, В, С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида. Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Тип оборудования Затраты времени на обработку одного изделия типа Общий фонд рабочего времени А В С фрезерное 2 4 5 120 токарное 1 8 6 280 сварочное 7 4 5 240 шлифовальное 4 6 7 360 Прибыль, д.е. 10 14 12

Решение:

Пусть изготовлено х₁ единиц изделия типа А, х₂ единиц изделия типа В, х₃ единиц изделий типа С. Тогда на изготовление изделий типа А на фрезерном оборудовании будет затрачено времени 2х₁, изделий типа В – 4х₂, изделий типа С – 5х₃. Тогда общий фонд времени, затраченного на работу на фрезерном оборудовании при изготовлении изделий трех видов, составит 2х₁+4х₂+5х₃≤120. На изготовление изделий типа А на токарном оборудовании будет затрачено времени 1х₁, изделий типа В – 8х₂, изделий типа С – 6х₃. Тогда общий фонд времени, затраченного на работу на токарном оборудовании при изготовлении изделий трех видов, составит х₁+8х₂+6х₃≤280. На изготовление изделий типа А на сварочном оборудовании будет затрачено времени 7х₁, изделий типа В – 4х₂, изделий типа С – 5х₃. Тогда общий фонд времени, затраченного на работу на сварочном оборудовании при изготовлении изделий трех видов, составит 7х₁+4х₂+5х₃≤240. На изготовление изделий типа А на шлифовальном оборудовании будет затрачено времени 4х₁, изделий типа В – 6х₂, изделий типа С – 7х₃. Тогда общий фонд времени, затраченного на работу на шлифовальном оборудовании при изготовлении изделий трех видов, составит 4х₁+6х₂+7х₃≤360. Прибыль от реализации изделий типа А составит 10х₁, изделий типа В – 14х₂, изделий типа С – 12х₃. Тогда общая прибыль от реализации изделий трех типов составит F=10x₁+14x₂+12x₃, причем прибыль предприятия необходимо максимизировать. Тогда математическая модель задачи будет иметь следующий вид:

2х₁+4х₂+5х₃≤120

х₁+8х₂+6х₃≤280

7х₁+4х₂+5х₃≤240

4х₁+6х₂+7х₃≤360

x_i≥0

F=10x₁+14x₂+12x₃→max

Для того, чтобы определить, имеет ли данная задача решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов при переменных в системе был равен количеству переменных в этой системе. строим матрицу коэффициентов:

| 2 4 5 |

| 1 8 6 |

А= | 7 4 5 |

| 4 6 7 |

Считаем ранг полученной матрицы (рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля определителя):

| 2 4 5 |

∆= | 1 8 6 | = 2*8*4+4*6*7+5*1*4-7*8*5-4*6*2-5*1*4= -96 ≠ 0

| 7 4 5 |

R_A= 3

Т.к.. ранг матрицы А равен количеству переменных системы, то можно сделать вывод о наличии решений данной задачи.