Задание №10

Задание: решить задачу динамического программирования с поиском минимального маршрута между двумя заданными пунктами 1 и 7, схема сети приведена на рисунке 1. Длина отрезков маршрута для каждого из вариантов приведена в таблице.

№ вар	Расстояния между пунктами
	1-2	1-3	1-4	2-4	2-5	3-4	3-6	4-5	4-6	4-7	5-7	6-7
31	2	4	10	11	5	3	1	8	7	5	6	9

Решение:

Необходимо среди множества возможных маршрутов из узла 1 в узел 7 выбрать кратчайший. Узел 1 – начальный в маршруте, узел 7 – конечный в маршруте.

Введем обозначения:

D_i,j - расстояние между двумя смежными узлами i и j;

U_j - кратчайшее расстояние между узлами i и j;

U_j определяется как кратчайшее расстояние до предыдущего узла плюс расстояние между текущим узлом и предыдущим, т.е.

U_j=min{U_i+D_i,j}

Из данной формулы выплывает, что кратчайшее расстояние U_j до узла j может определится после того, как определено кратчайшее расстояние до каждого предыдущего узла i, который соединяется дугой (i, j) с узлом j.

Рассмотрим узел 1. Расстояние от узла до самого себя U₁=0.

Расстояние от узла 1 до узла 2 определяем как U₂=U₁+D_1,2=0+2=2

Расстояние от узла 1 до узла 3 определяем как U₃=U₁+D_1,3=0+4=4

Маршрут, дающий кратчайшее расстояние от узла 1 к узлу 4 определяем с учетом расстояний от узла 1 до узлов, предыдущих узлу 4. Это узлы 1,2,3.

U₄=min{U₁+D_1,4;U₂+D_2,4;U₃+D_3,4}=min{0+10;2+11;4+3}=7

Маршрут, дающий кратчайшее расстояние до узла 5 определяем с учетом ранее полученных данных. Узел 5 опережают узлы 2 и 4, поэтому:

U₅=min{U₂+D_2,5;U₄+D_4,5}=min{2+5;7+8}=7

Аналогично определяем для узла 6:

U₆=min{U₃+D_3,6;U₄+D_4,6}=min{4+1;7+7}=5

Для узла 7:

U₇=min{U₄+D_4,7;U₅+D_5,7;U₆+D_6,7}=min{7+5;7+6;5+9}=12

Поднимаясь по расчетам вверх с учетом пояснений, которые указывают через какой узел получено кратчайшее расстояние до очередного узла находим минимальный маршрут 1→3→4→7 с длиной 12.

34