1 Короткі теоретичні відомості

У задачах, що пов'язані з ідентифікацією,аналізом,оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає потреба у обчисленні нелінійних рівнянь. Існує ряд методів для вирішення нелінійних рівнянь.

Відомо багато чисельних методів для розв’язання нелінійного рівняння, але розглянемо найпопулярніші, а серед них задані на індивідуальне завдання:

• метод половинного ділення;

• метод хибного положення(хорд);

наступні - задані на індивідуальне завдання:

• метод січних;

• метод простої ітерацїї;

• метод Ньютона (дотичних).

1.1 Метод половинного ділення

В цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках, що розташовані через рівні інтервали на осі х. Коли f(x_n) i f(x_n+1) мають протилежні знаки, знаходять ,f(x_cp). Якщо знак f(x_cp) збігається зі знаком f(x_n), то надалі замість х_n використовується х_ср . Якщо ж f(x_cp) має знак, протилежний f(x_n), тобто збігається зі знаком f(x_n+1), то на х_ср замінюється x_n+1 . За умову припинення ітераційного процесу доцільно брати умову | x_n+1 – x_n| < , де  - задана похибка. Похибка розвязку Δ через n ітерацій знаходиться в межах:

Δ<. (1.1)

Метод має малу швидкість збіжності, оскільки інтервал, де знаходиться корінь, з кожним кроком зменшується не більше ніж в два рази.

Рисунок 1.1 - Метод половинного ділення

1.2 Метод хибного положення (хорд)

Цей метод полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів x_n+1 , х_n не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці

. (1.2)

Після цього визначають f(x_n+1) і порівнюють його з f(x_n). Надалі користуються x_n+1 замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо | x_n+1 – x_n| < , то вся процедура повторюється спочатку.

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається.

Похибка розв'язку оцінюється за формулою:

, (1.3)

де М₁, m₁ – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рисунок 1.2 - Метод хорд

1.3 Метод Ньютона

Метод Ньютона полягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступне наближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ.В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора:

(1.4)

Члени що містять h у другому і більших степенях відкидаються і в результаті отримується наближена формула для оцінки Х_n+1:

х_n+1 = х_n – , (1.5)

але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певну похибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступної умови: <Δ, де дельта певна задана похибка. Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f’(x)перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f ’’(x) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови:

(1.6)

Грубо оцінити похибку для методу можна так:

, (1.7)

де М₂ – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі

[x_n, x_n+1].

Рисунок 1.2 - Метод Ньютона