II этап.

Один из способов численного решения уравнений – метод итераций.

Пусть дано уравнение f(X)=0, где f(X) – непрерывная функция. Определим корни уравнения. Заменим f(X)=0 равносильным уравнением x= Ф(x). Выберем на отрезке [a,b] произвольную точку x₀ нулевое приближение, и примем в качестве следующего приближения x₁=Ф(x₀); x₂= Ф(x₁) и так далее x_n= Ф(x_n-1). Процесс итерации продолжается до тех пор, пока выполняется неравенство |x-x₀|<=e, где e – заданная точность вычисления.

Определение: процесс последовательного вычисления чисел x_n по формуле x_n= Ф(x_n-1) называется методом итераций.

Пример: Найти корень уравнения x³-x-1=0 с точностью e=10^-4.

1. Отделим корень, т.е. отыщем достаточно малую область, в которой заключен только один корень, т.е. найдем отрезок [a,b], на концах которого функция имеет разные знаки: a=1;b=1,5.

2. Преобразуем уравнение к виду x³=x+1=0 →x=(x+1)^1/3. Применим метод итераций. За нулевое приближение примем x₀=1.

Варианты заданий:

В.1 x – sin x - 0,25 = 0; E= 0,0004 x0=1.1 В.2 ; E = 10-4 X0 = -4 В.3 X – COS X = 0; E= 0,001 X0=0 В.4 X – 2+SIN(1/X) = 0; E= 0,0001 X0=1.2 В.5 LN(X+2.5)-X= 0; E= 0,0001 X0=2 В.6 e-x – x=0 E= 10-6 X0=0.5 В.7 -X-ARCTG(X)+6.65= 0; E= 10-5 X0=5 В.8 X3+X-1= 0; E= 10-6 X0=0.9 В.9 X – 2 + SIN(X/2) = 0; E= 0,001 X0=0 В.10 Ln(X2+1.2)-X= 0; E= 0,0001 X0=1.5

ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Лабораторная работа №4

Тема: Программирование циклических алгоритмов с неизвестным числом повторений

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Составить программу для вычисления корня уравнения вида f(x)=0 методом последовательных приближений (методом итераций) при начальном приближении Х0 и заданной точности Е.

Пример: Найти корень уравненияx³–x-1 = 0cточностью. е=10^-4

2. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ

3. Текст программы

Sub lab4()

' вычисление корня уравнения методом итераций

E = 0.0001

X0 = 1

X = (X0 + 1) ^ (1 / 3)

While Abs(X - X0) > E

X0 = X

X = (X0 + 1) ^ (1 / 3)

Debug.Print "X="; X

Wend

Debug.Print

F = X ^ 3 - X - 1

Debug.Print "корень = "; X

Debug.Print "F= "; F

End

End Sub

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

X= 1,31229383668329

X= 1,32235381913882

X= 1,32426874455158

X= 1,32463262525092

X= 1,32470174851036

корень = 1,32470174851036

F= -6,91232594380864E-05

Лабораторная работа №5

Тема: Программирование сложных циклических алгоритмов

Задание Разработать алгоритм и составить программу для вычисления заданной функции.

Варианты заданий:

В.1при изменении Х от 2 до 7 с шагом 0.5; b=5.4 В.2 при изменении Х от 3 до 8 с шагом 0.5; a=6 В.3для Х=-1, -3, -4, 1, 2, 5 В.4для Х=0.1; 0.5; 1; 1.2; 1.8; 2 а=3; b=2 В.5 при изменении Х от -1 до 4 с шагом 0.75;

В.6 при изменении Х от -1 до 4 с шагом 0.75; В.7 для a=0.1; 0.5; 1.2; 1.8; 2 b=0.9 В.8 при изменении Х от -1 до 4 с шагом 0.75 B.9 для X=0.8; 1.2; 1.9; 2.4; 3 B.10 для X= -1; -0.5; 0.5; 1; 2.4; 4; 6

ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ