15.Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f(x), f(x), …, f(п)(x) или дифференциалы df, d2f, …, dпf.
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:
F(x, f(x), f(x), f(x), …, f(п)(x)) = 0
Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Уравнение вида f1(x)1(y)dx + f2(x)2(y)dx =0
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на 1(y) f2(x):
при условии, что 1(y) f2(x) 0. После сокращения получаем
(1)
Интегрируя равенство (1), получаем
(2)
где С – произвольная постоянная.
Выражение (2) является общим решением уравнения (1).
Пример. Найти общее и частное решения уравнения dy/dx = - y/x при x = 1, y = 2.
Решение.
В уравнении
dy/dx
= - y/x
путем
умножения обеих частей на dx
разделим (отделим) дифференциалы:
dy
= -( y/x)dx.
Разделив
обе части последнего уравнения на у,
получим уравнение с разделенными
переменными: dy/у
= -dx/x.
Проинтегрируем
его:
откуда
Потенцируя
последнее равенство, получаем
-
общее решение уравнения. Из
условия, что при х
= 1 у = 2, найдем
значение С:
2 = С/1,
откуда С = 2.
Частное решение будет иметь вид у
= 2/х.
16.Решение дифференциальных уравнений. Общие и частные решения.
Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f(x), f(x), …, f(п)(x) или дифференциалы df, d2f, …, dпf.
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:
F(x, f(x), f(x), f(x), …, f(п)(x)) = 0
Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Если
функция u
= f(x,
y,
z,
…, t)
зависит от
двух и большего числа аргументов, то
уравнение будет содержать частные
производные
и
т.д. Такое уравнение носит названиедифференциального
уравнения в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.
Например, у = 2ху2 + 5 – уравнение первого порядка, а у + у =0 – второго.
Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x,C1, C2, …, Cr) от х с произвольными постоянными C1, C2, …, Cr,обращающая это уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у,C1, …, Cr) = 0, называется общим интегралом.
Так, решением дифференциального уравнения у + у =0 является функция у = С1 sin x + C2 cos x, где C1 и C2 – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С1 sin x + C2 cos x в уравнение у + у =0 оно превращается в тождество. Действительно, ух = C1 cos x – С2 sin x; ухх = - С1 sin x - C2 cos x;
- С1 sin x - C2 cos x + С1 sin x + C2 cos x =0.
При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:
f(x0) = y0; f(x0) = y0;…; f(r-1)(x0) = y0(r-1). Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
17. Моделирование медико-биологических процессов с помощью дифференциальных уравнений (развитие эпидемий, изменение со временем концентрации лекарственных веществ в организме, накопление и выведение радионуклидов и др.).
Общие замечания. Дифференциальные уравнения занимают важное место в решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между переменными величинами, характеризующими данный процесс или явление.
Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:
1.перевод условий задачи на язык математики;
2.решение задачи;
3.оценка результатов.
Первая часть работы обычно заключается в составлении дифференциального уравнения и является наиболее трудной, так как общих методов составления дифференциальных уравнений нет и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в результате изучения конкретных примеров.
Закон охлаждения тела. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и окружающей среды. Пусть тело нагрето до температуры То, температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тс, Тс < То. В момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры dT/dt пропорциональна разности Т – Тс, то есть
dT/dt = - r(Т – Тс).
Минус означает, что с возрастанием времени t температура Т тела уменьшается. Производная убывающей функции отрицательна, а скорость по смыслу – положительная величина. Коэффициент пропорциональности r зависит от физических свойств тела, так и от его геометрической формы.
Разделим переменные в уравнении и проинтегрируем его:
Подставив начальные условия t=0, Т=То, найдем значение С и подставим в последнее уравнение:
Т0=Тс+Се-r0; С=Т0-Тс;
Т=Тс+(Т0-Тс)е-rt.
Это закон охлаждения тела с течением времени.