1.Производная функции. Ее физический и геометрический смысл.

у=С:	ý= 0;
y=x	ý=1
у = хμ:	ý=μxμ-1
у = аx: у = ех то	ý=axlna; ý= еx;
y=logax у = lпх	ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx.	y'=cosx; ý = — sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx	ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2)
y = v±u:	y' = u'±v'
y=uv	y' = u'v + v'u.
y=u/v:	y' =( u'v- v'u)/ v2
y = f1(u), если u = f2(x),	у'x = у'uu'x

Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю: ý=lim (Δy /Δx) Δx →0

Производные некоторых функций :

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.

Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение х. По значению аргумента х+х получаем новое значение функции f(x + x), соответствующее точке М(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущую ММ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через . Из рисунка следует, что f/x=tg. При х  0 точка М перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ поворачивается вокруг точки М, и величина угла  изменяется. При приближении секущей ММ к касательной МТ угол  приближается к углу  и Угловой коэффициент касательной Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Физический смысл производной:

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f: Отношение

является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.

Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, производная функции y = f(x):

2.Описание скорости протекания биологических процессов с помощью производной. Градиенты.

Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f:

Отношение

является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.

Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):