12.3. Понятие о мультиполе

Диполь является частным случаем системы электрических зарядов, обладающей определенной симметрией. Можно указать еще примеры симметричных систем зарядов (рис. 12.13). Общее название подобных распределений зарядов — электрические мультиполи.

Они бывают разных порядков (l = 0, 1, 2 и т. д.), число зарядов мультиполя определяется выражением 2^l. Так, мулътиполем нулевого порядка (2⁰ = 1) является одиночный точечный заряд (рис. 12.13, а), мулътиполем первого порядка (2¹ = 2) — диполь, мулътиполем второго порядка (2² = 4) — квадруполъ (рис. 12.13, б), мулътиполем третьего порядка (2³ = 8) — октуполъ (рис. 12.13, в) и т. д.

Потенциал поля мультиполя убывает на значительных расстояниях г от него пропорционально 1/r^{l +1}. Так, для заряда (l = 0) 1/l, диполя (l = 1)  1/r², для квадруполя (l = 2)  1/r³ и т. д.

Если заряд распределен в некоторой области пространства, то потенциал электрического поля в любой точке А вне системы зарядов можно представить в виде некоторого приближенного ряда:

(12.32)

Здесь r расстояние от системы зарядов до точки А с потенциалом ; f₁, f₂, f₃, ... — некоторые функции, зависящие от вида мультиполя, его зарядов и от направления на точку А. Первое слагаемое (12.32) соответствует монополю, второе — диполю, третье — квадруполю и т. д. В случае нейтральной системы зарядов первое слагаемое равно нулю. Если r так велико, что можно пренебречь всеми членами ряда, начиная с третьего, тогда из (12.32) получаем потенциал поля диполя [см. (12.27)].

12.4. Дипольный электрический генератор (токовый диполь)

В вакууме или в идеальном изоляторе электрический диполь может сохраняться сколь угодно долго. Однако в реальной ситуации (электропроводящая среда) под действием электрического поля диполя возникает движение свободных зарядов и диполь либо экранируется, либо нейтрализуется.

Можно к диполю подключить источник напряжения, иными словами, клеммы источника напряжения представить как диполь. В этом случае, несмотря на наличие тока в проводящей среде, диполь будет сохраняться (рис. 12.14, а). РезисторR₁ является эквивалентом сопротивления проводящей среды,*— ЭДС источника, r — его внутреннее сопротивление (рис. 12.14, б).

Рис. 12.14

На основании закона Ома для полной цепи]

если r  R₁, то I = * / r.

Можно заключить, что в этом случае сила тока во внешней цепи будет оставаться почти постоянной, она почти не зависит от свойств среды (при условии r  R₁). Такая двухполюсная система, состоящая из истока и стока тока, называется дипольным электрическим генератором или токовым диполем.

Между дипольным электрическим генератором и электрическим диполем имеется большая аналогия, которая основывается на общей аналогии электрического поля в проводящей среде иэлектростатического поля.

Проиллюстрируем эту аналогию на примере плоского конденсатора.

Пусть между пластинами плоского конденсатора находится среда с удельным электрическим сопротивлением р или, иначе, судельной электрической проводимостью  (= 1/). Сопротивле­ние между пластинами конденсатора, как для проводника с сече­нием S и длиной l, равно

Электрическая проводимость равна

(12.33)

Если сравнить (12.33) с выражением для емкости плоского конденсатора

(12.34)

то можно заключить: формула (12.33) для проводимости получает­ся из формулы (12.34) для емкости заменой произведения ₀ на . Суть аналогии электрического поля в проводящей среде и электростатического поля сводится к следующему:

— линии тока (электрическое поле в проводящей среде) совпадают с линиями напряженности электростатического поля при одинаковой форме электродов;

— в том и другом случаях многие формулы имеют тождественный вид, переход от одних формул к другим осуществляется заменой₀ на , q наl, С наG (или 1/С наR). Закон ОмаG =I/U аналогичен формуле С = q/U.

Воспользуемся этой аналогией и получим выражение для токового диполя. Аналогично электрическому моменту диполя введем дипольный момент дипольного электрического генератора:

где l — расстояние между точками истока и стока тока. Потенци­ал поля дипольного электрического генератора выражается фор­мулой, аналогичной (12.27):

(12.35)

(в безграничной среде). Конфигурации линии напряженности электростатического поля электрического диполя и линий напря­женности электрического поля токового диполя (они же совпадают и с линиями тока) одинаковы (см. рис. 12.3). В соответствии с изложенным в § 12.3 можно ввести и понятие мультипольного электрического генератора.

По существу, электрический мультипольный генератор — это некоторая пространственная совокупность электрических токов (совокупность истоков и стоков различных токов).

Все, что было сказано выше о потенциалах полей системы зарядов (электростатическое поле), справедливо и для такого генератора (токового мультиполя) в слабо проводящей среде.