Уравнение Бернулли.

Рассмотрим трубку тока малого сечения (рис. 1). Жидкость, выделенного объема, переместится из положении 1 в положение 2. Так как течение стационарное, то никаких энергетических изменений с жидкостью не произойдёт. Изменение энергии (потенциальной и кинетической) жидкости при перемещении объёма от положения 1 к 2 равно работе, которую необходимо совершить над жидкостью для перемещения выделенного объёма из положения 1 в положение 2. Считая объёмы цилиндрическими, можно записать:

V=S₁l₁=S₂l₂ (2)

Если скорость жидкости в пределах каждого заштрихованного объёма одинакова (равна v₁ и v₂ для положений 1 и 2 соответственно), то изменение кинетической энергии жидкости равно:, (3)

так как m=S₁l₁=S₂l₂, где  - плотность жидкости.

Вычислим работу внешних сил, действующих на жидкость. Силы со стороны соседних трубок тока нормальны к поверхности рассматриваемой трубки и работы не совершают. Работа сил, оказывающих давления р₁ и р₂ на торцы объёма 1 - 2 при его перемещении,

Рис.

1. Схема трубки тока жидкости для вывода формулы Бернулли.

A_Р=F₁l₁-F₂l₂=p₁S₁l₁-p₂S₂l₂. (4)

Работа силы тяжести:

А_Т=mgh₁-mgh₂=S₁l₁gh₁-S₂l₂gh₂. (5)

Согласно закону сохранения энергии

E_k= A_Р+ А_Т,

(S₂l₂V₂²-S₁l₁V₁²)/2 =

= p₁S₁l₁-p₂S₂l₂+ +S₁l₁gh₁ - S₂l₂gh₂ (6)

откуда сокращая на S₁l₁ = S₂l₂ и перегруппировывая слагаемые, имеем:

Так как выбор сечения трубки произволен, то индексы можно опустить:

.(7)

- это уравнение Бернулли.

Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли имеют размерность и смысл давления. Давление р называют статическим; оно не связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром, перемещающимся вместе с жидкостью.

Давление называют динамическим; оно обусловлено движением жидкости и проявляется при ее торможении. Сумма статического и динамического давлений есть полное давление:

р_П = р + .

Давление gh - весовое. В состоянии невесомости весовое давление отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает.

В различных точках линии тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и весового давлений одинакова.

Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из уравнения Бернулли.

1)Наклонная трубка тока постоянного сечения.

V = const, тогда p₁ + gh₁ = p₂ + h₂g или p₂ - p₁ = g(h₁ - h₂),

p = gh.

В этом случае, как и в гидростатистике, разность давлений обусловлена разностью весов соответствующих столбов жидкости.

2)Горизонтальная трубка тока переменного сечения.

Всасывающее действие струи.

Так как h₁ = h₂ (рис. 2) , то

Полное давление в разных сечениях горизонтальной трубки тока одинаково. В более узких местах S₂ < S₁, V₂ > V₁, p₂ < p₁.

Рис. 2.

Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость (так называемое всасывающее действие струи). Это явление используют в водоструйных насосах, ингаляторах и пульверизаторах.