§ 2.2. Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение случайной величины. Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами,

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

Распределение дискретной случайной величины. Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения х_г х₂, ..., а вероятности Р(х₁) — p₁, Р(х₂) = р₂ и т. д. Совокупность X и Р называется распределением дискретной случайной величи­ны (табл. 1).

Таблица 1

X	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	…
Р	p1	p2	рз	р4	р5	…

(2.9)

Так как все возможные значения дискретной случайной вели­чины представляют полную систему (см. § 2.1), то сумма вероят­ностей равна единице:

Здесь предполагается, что дискретная случайная величина имеетпзначений. Выражение (2.9) называетсяусловием норми­ровки.

*Случайной величиной является число очков, выпадающих на верх­ней грани игральной кости. Указать распределение этой случайной вели­чины (табл. 2).

Таблица 2

X	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

* Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло­то». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

X	1	2	3	…	49
р	1/49	1/49	1/49	…	1/49

Биномиальное распределение. Пусть некоторое испытаниепроводится трижды и при этом событие А происходит l раз (l — случайная величина, которая при тройном испытании может при­нимать значения 0, 1, 2 и 3). Вероятность наступления события А равна Р(А); вероятность того, что событие А не происходит, т. е. имеет место противоположное событие, равна [1 - Р(А)].

Значение l = 0 соответствует такому случаю, при которомтрижды подряд событие А не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6),равна

Р( и и ) = [1 - Р(А)] [1 - Р(А)] [1 - Р(А)] = [1 - Р(А)]³.

Значение l = 1 относится к случаю, при котором событие А про­изошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем

Р(А и и ) = Р(А) [1 - Р(А)] [1 - Р(А)] = Р(А) [1 - Р(А)]².

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: ( и А и ) и ( и и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Р(А и и, илииА и , илиииА) = З Р(А) [1 - Р(А)]².

Значение l = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

Р( и А и А, или А и и А, или А и А и ) =З Р²(А) [1 - Р(А)].

При l = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

Р(А и А и А) = Р³(А).

В итоге получаем биномиальное распределение, содержащее четыре члена (табл. 4).

Таблица 4

l	0	1	2	3
Р	[1-Р(А)]3	З Р(А) • [1 - Р(А)]2	З Р2(А) • [1 - Р(А)]	Р3(А)

В общем случае биномиальное распределение позволяет опре­делить вероятность того, что событиеА произойдетl раз прип ис­пытаниях:

(2/10)

где р = Р(А);- число сочетаний изпэлементов поl, равное

* На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6, l = 4.

Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­ний на вероятности этих значений:

(2.11)

Пусть при большом числе испытанийп дискретная случайная величинаX принимает значенияx₁, x₂, ..., х_п соответственнот₁, т₂ , …, т_п раз. Среднее значение равно

Если n велико, то относительные частоты т1/п, т2/п, ... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина — к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

*Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

М(Х)= 1 • 1/6 + 2 • 1/6 + 3 • 1/6 + 4 • 1/6 + 5 • 1/6 + 6 • 1/6 = 7/2 = 3,5.

* Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­ чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3).

Согласно формуле (2.11), находим

М(Х)= 1 • 1/49 + 2 • 1/49 + ... + 49 • 1/49 = 25.

Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М(Х),часть — меньшеМ(Х).Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожиданияX - М(Х),а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений:М[Х - М(Х)]. Без доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклоненийМ[Х - М(Х)], либо их квадратыМ[Х - М(Х)]². Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=М[Х - М(Х)]²(2.12)

Без вывода приведем удобную для вычисления дисперсии фор­мулу

D(X)=М(Х²)- [М(Х)]². (2.13)

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

*Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5)²= 6,25; (2 - 3,5)² = 2,25; (3 - 3,5)²= 0,25; (4 - 3,5)²= 0,25; (5 - 3,5)²= 2,25; (6 - 3,5)² = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) находим дисперсию:

D(X)= 6,25 • 1/6 + 2,25 • 1/6 + 0,25 • 1/6 + 0,25 • 1/6 + + 2,25 • 1/6 + 6,25 • 1/6 = 2,9167. Вычислим дисперсию, воспользовавшись формулой (2.13):

[М(Х)]²= 3,52 = 12,25;М(Х²)= I2 • 1/6 + 22 • 1/6 + З2 • 1/6 + 42 • 1/6 + 52 • 1/6 +

+ 62 • 1/6 = 15,1667;

D(X)= 15,1667 - 12,25 = 2,9167.

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать рас­сеяние случайной величины в единицах той же размерности, вво­дят понятие среднего квадратического отклонения, под кото­рым понимают квадратный корень из дисперсии:

(2.14)

Распределение и характеристики непрерывной случай­ной величины. Непрерывную случайную величину нельзя за­дать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP — вероятность того, что непрерывная случайная ве­личина X принимает значения между х и х + dx. Очевидно, что чем больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP  dx. Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

dP = f(x)dx, (2.15)

где f(x) — плотность вероятности, или функция распределе­ния вероятностей. Она показывает, как изменяется вероят­ность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависи­мости от значения самой этой величины:

f(x) = dP/dx. (2.16)

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает ка­кое-либо значение в интервале (ab):

(2.17)

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

(2.18)

Наряду с плотностью вероятности в математике используют также и функцию распределения непрерывной случайной вели­чины:

(2.19)

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия записываются соответственно в виде

(2.20)

(2.21)(2.21)