Добавил:

jarenoeletto Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

Математическое моделирование в электроэнергетике

Файл:

MU_samostoyatelnoy_rabote

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.08.2018

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Значения коэффициентов находятся из уравнений:

− −1= − −1 ;

= −

Функцию ( ) на каждом интервале можно записать в виде:

1 − 0

+ −

1 − 0

< <

1 − 0

2 − 1

+ 1 −

2 − 1

1 < < 2

− 1

2 − 1

… … … … … … … … … … … … … . .

−

< <

−1

−

−1

−

−1

−

−1

Рисунок 2.3 Кусочно-линейной интерполяция

Пример

Интерполировать функцию используя кусочно-линейную интерполяцию на интервале [0,5]

			= 0.1 + 0.3
Таблица 2.3

Узел	0	1	2	3	4	5

xi	0	1	2	3	4	5

f(xi)	1	1.4499	2.0221	2.7596	3.7500	4.9817

Используем уравнение

−

−1

−

−1

< <

−

−1

−

−1 −1

−1

для участка [0,1]

0 =

1.4499 − 1

+ 1 −

1.4499 − 1

0 = 0.4499 + 1

1 − 0

для участка [1,2]

1 =

2.0221 − 1.4499

+ 1.4499 −

2.0221 − 1.4499

2 − 1

= 0.5722 + 0.8777

для участка [2,3]

2 =

2.7596 − 2.0221

+ 2.0221 −

2.7596 − 2.0221

3 − 2

= 0.7375 + 0.5471

для участка [3,4]

3 =

3.75 − 2.7596

+ 2.7596 −

3.75 − 2.7596

3 = 0.9904 − 0.2116

4 − 3

для участка [4,5]

4 =

4.9817 − 3.75

+ 3.75 −

4.9817 − 3.75

4 = 1.2317 − 1.1768

5 − 4

Интегральная ошибка интерполяции

− 0( ) +

− 1( ) +

− 2( )

+ − 4( ) +

− 5( ) = 0.115

Кубический интерполяционный сплайн

	Рисунок 2.4 Кубический интерполяционный сплайн
На	каждом из	отрезков			,	,	определяют	сплайн-функцию ( ) =
				−1
	в виде полинома третьей степени:
	=		+ −			+ ( − )2		+	( − )3

				≤ ≤			, = 0,1,2, … , ,
			−1

где , , , −искомые коэффициенты.

Система уравнений для определения коэффициентов :

−

+ 2 +

= 3

−

−1

= 1,2, … , − 1,

= −

−1

= = 0.

Найдя коэффициенты ,

остальные коэффициенты определяют по явным

формулам:

−

= +1

−

−1

−

(

+ 2 ),

= 1,2, … , .

Пример

Интерполировать функцию используя кубический интерполяционный сплайн на интервале [0,5]. Шаг интерполяции постоянный hi = xi − xi−1 = 1.667.

			= 0.1 + 0.3
Таблица 2.4

Узел	0	1		2	3

xi	0	1.667		3.333	5

f(xi)	1	1.815		3.051	4.9817

Для определения коэффициентов воспользуемся уравнением

+ 2 +

= 3

+1−

−

−−1

−1

+1 +1

1.667 0 + 2

1.667 + 1.667 1 + 1.667 2

= 3

3.051 − 1.815

−

1.815 − 1

1.667

1.667 1 + 2

1.667 + 1.667 2

+ 1.667 2

= 6

4.981 − 3.051

−

3.051 − 1.815

1.667

После преобразований, с учетом 0 = 3 = 0

4 1 + 2 = 0.451 + 4 2 = 0.773

Решив систему уравнений, получим: 1 = 0.0684, 2 = 0.1765, 0 = 3 = 0 .

Определяем коэффициенты


															−
											=			+1
														3
														3
			=			1 − 0			=				0.0684 − 0				= 0.0137
		0	=						=								= 0.0137
		0				3							3 1.667
						3							3 1.667
	=			2 − 1			=			0.1765 − 0.0684								= 0.021
	=						=											= 0.021
1					3									3 1.667
					3									3 1.667
		=			3 − 2			=				0 − 0.1765				= −0.0353
	2	=						=								= −0.0353
	2					3							3 1.667
						3							3 1.667

Определяем коэффициенты

		=		1 − 0			−			1					+ 2		=			1.815 − 1				−		1	1.667 0.0684 + 0	= 0.442
		=					−								+ 2		=							−			1.667 0.0684 + 0	= 0.442
0							3				1					0					1.667			3
							3														1.667			3
		=			2 − 1				−			1	+ 2
		=							−				+ 2
		1									3				2		1
											3.05 − 1.815										1
							=											−				1.667			0.1765 + 2 0.0684 = 0.566
							=							1.667				−			3	1.667			0.1765 + 2 0.0684 = 0.566
	=		3 − 2			−		1						+ 2			=		5 − 3.05				−	1	1.667 0 + 2 0.1765			= 0.973
	=					−								+ 2			=						−		1.667 0 + 2 0.1765			= 0.973
2							3				3				2		1.667							3
							3										1.667							3

Определяем коэффициенты

0 = 0 = 1

1 = 1 = 1.815

2 = 2 = 3.051

Таблица № 2.5

	a	b	c	d
S1(x)	1	0.442	0	0.0137
S2(x)	1.815	0.566	0.0684	0.021
S3(x)	3.051	0.973	0.1765	-0.0353

Следовательно для каждого участка получим соответствующие полиномы

		=	+ −				+ ( − )2		+	( − )3

для интервала [0,1.667]
		= 1 + 0.0442			−		+ 0( − )2		+ 0.0137( − )3
1					0			0			0
для интервала [1.667, 3.333]
		= 1,815 + 0.566			−		− 0.0684( − )2				+ 0.021( − )3
2					1				1		1
для интервала [3.333, 5]
	= 3.051 + 0.973			−			+ 0,1765 ( − )2				− 0.0353( − )3
3					3				3		3
Интегральная ошибка интерполяции
1.667					3.333						5
=	− 1( ) +					− 2( ) +					− 3( )
0					1.667						3.333
		= 0.122

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

=		( )

	=0

где базисные полиномы определяются по формуле:

−

…

−1

∙

…

−

=0, ≠

−1

Для трех узлов интерполяции N=2

0	=	− 1		− 2
		0		0 − 2
			− 1
	=	− 0		− 2

1		1	− 0	1 − 2

2 =	− 0	− 1
		2 − 1
	2 − 0

- уравнение, проходящей через точки (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)

= 0 0 + 1 1 + 2 2

Пример

Интерполировать функцию используя интерполяционный многочлен Лагранжа на интервале [0,5].

			= 0.1 + 0.3
Таблица 2.6

Узел	0	1		2	3

xi	0	1.667		3.333	5

y(xi)	1	1.815		3.051	4.9817

Для N=3 (четыре узла интерполяции) составляем базисные полиномы

0	=	− 1		− 2		− 3
		0 − 1				0 − 3
				0 − 2
= − 0			− 2		− 3
1		1 − 0		1 − 2		1 − 3

2	=	− 0	− 1	− 3
		2 − 0	2 − 1	2 − 3

3	=	− 0	− 1	− 2
		3 − 0	3 − 1	3 − 2

= 0 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3

Численное интегрирование

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определѐнного интеграла (как правило, приближѐнное). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определѐнного интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

сама подынтегральная функция не задана аналитически;

аналитическое представление подынтегральной функции известно, но еѐ первообразная не выражается через аналитические функции.

Вэтих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница

= Ф − Ф = Ф

Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних), метод трапеций и метод парабол.

Метод прямоугольников

В этом методе подынтегральная функция заменяется горизонтальной прямой = со значением ординаты, т. е. значения функции соответственно слева или справа участка.

Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация определенного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.

Формула левых прямоугольников:

левых ≈ ≈ 0 + 1 + 2 + −1 ≈ ( 0 + 1 + 2 + −1)

= 0+ - шаг интегрирования; n - число разбиений.

Левые прямоугольники

Рисунок 3.1

Формула правых прямоугольников:

правых ≈ ≈ 1 + 2 + ≈ ( 1 + 2 + )

Правые прямоугольники

Рисунок 3.2

Формула средних прямоугольников:

		−1
	≈	( +	)
	≈	( +	)
средних

или

	≈ правых + левых
средних		2

Рисунок 3.3

Метод трапеций

Метод трапеций —заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями.

Рисунок 3.4 Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Если отрезок , является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическое моделирование в электроэнергетике

#
03.08.20181.11 Mб51MU_samostoyatelnoy_rabote.pdf
#
03.08.2018851.29 Кб30лекция 1 Автайкин.docx
#
03.08.20186.81 Mб124Метоодические указания к ЛР.docx
#
03.08.2018226.84 Кб49Отчет 1.docx
#
03.08.2018265.09 Кб31Отчет 2.docx
#
03.08.2018378.06 Кб36Отчет 4.docx