MU_samostoyatelnoy_rabote
.pdfТаблица 1.2 |
|
|
|
Шаг |
х |
f(x) |
Ошибка ɛ |
1 |
0.4 |
-1.246 |
|
2 |
0.733 |
-0.657 |
|
3 |
0,839 |
-0,16232 |
|
4 |
0,86148 |
-0,03201 |
|
5 |
0.86578 |
-0.00598 |
|
6 |
0.86658 |
-0.0011 |
|
7 |
0.86673 |
-0.00018 |
0,00018< 0,0001 |
Метод простых итераций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Представим исходное уравнение f x |
= 0 в виде = |
. |
|
|
||||||||
|
Пусть нам известно начальное приближение к корню 0 |
0 |
|
, . |
|||||||||
Подставив его в правую часть уравнения |
= |
получим |
новое |
||||||||||
приближение |
1 |
= 0 , |
затем |
аналогичным |
образом |
получим 2 = |
|||||||
|
и так далее, |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, |
|
что |
при |
определенных |
|
|
свойствах |
|||||
функции последовательность , , |
… . , , … , определяемая по формуле |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, сходится к корню уравнения |
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
графически |
процесс |
получения |
приближений |
в |
методе |
простых итераций (рис.5). Необходимо отыскать точку пересечения кривой y x и прямой
На рисунке 1.3, (а) изображена некоторая кривая y x , которая может представлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то
обстоятельство, что |
производная этой функции в окрестности |
корня |
||||
|
Пусть |
x x |
* |
- корень уравнения, который, естественно, |
||
1 y 0. |
|
|||||
предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке |
х0 . |
|||||
Следующее |
приближение |
|
x1 (х0 ). Для того, чтобы отобразить |
х1 |
на |
графике можно провести через точку (х0 , f (x0 )) прямую, параллельную оси OX , до пересечения с прямой y x , а затем в точке пересечения этих прямых опустить перпендикуляр на ось OX , который и отметит положение точки x1 . Аналогично получаются все последующие приближения. Из рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения мы взяли функцию, производная которой ' x 1.
11
Рисунок 1.3. Метод простых итераций: а) односторонний сходящийся процесс; б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
Рассмотрим теперь другую функцию y x , производная которой отрицательна, ' x 1 по абсолютному значению. Этот случай изображен
на рисунке 1.3, в). Последовательные приближения также сходятся к корню, но на этот раз каждое последующее приближение находится с противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все
последовательные приближения находились с одной стороны от корня.
' x 1
(рис. 1.3, б) и ' x 1 (рис. 1.3, г). В обоих случаях каждое последующее
приближение отстоит дальше от корня, т.е. итерационный процесс расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный
12
процесс сходится при условии, что производная ' x 1.
Пример
Методом простых итераций уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.
= − 5
Преобразуем уравнение к виду:
= |
|
|
, т.е ( ) = |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
5 |
|||||
|
|
Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [0,2, 0,3]. Вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим:
0.2 = 0.221 > 0
0.3 = −0.150 < 0
т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.
Рисунок 6
13
Рисунок 7 Зависимости y=x, y=φ(x)
Определяем первую и вторую производные функции f(x)
( )/ =
5
( )// =
5
Так как ( )// > 0 на отрезке [0,2, 0,3], то производная ( )/ > 0 и монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка ( )/ = 0.2699 < 1 . Следовательно процесс итерации сходится не зависимо от начального значения 0.
1 |
= |
ex0 |
= |
e0.2 |
= 0.244281 |
|||||
|
5 |
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ex1 |
|
|
e0.244281 |
|||||
2 = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 0.255341 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ɛ = 1 − 2 |
= 0.011 |
||||||||
|
|
ex2 |
|
|
e0.255341 |
|||||
3 = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 0.255818 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ɛ = 2 |
− 3 |
= 0.00284 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
4 |
= |
ex3 |
= |
e0.258914 |
= 0.259104 |
|
5 |
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
||
ɛ = 3 − 4 |
= 0.00097 < 0.001 |
Метод Ньютона (касательных)
Метод Ньютона (касательных) является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится, так как имеет квадратичную сходимость, и имеет различные модификации. Однако этот метод эффективен
при весьма жестких ограничениях на функцию |
|
f ( x ): |
а) существование второй производной f |
|
|
|
(x) на интервале [a, b]. |
|
Если ƒ"(х) во всех точках интервала [а;b] |
ƒ"(х)<0, то график функции в |
этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 xє(а;b) — график выпуклый вниз. В противном случае график линейный;
б) удовлетворение первой производной условию f (x) 0 для всех значений x на интервале [a, b]. Функция на рассматриваемом интервале не
имеет экстремумов;
в) знакопостоянство f ( x ) и f ( x ) для всех значений x на данном
интервале.
Геометрическая интерпретация метода Ньютона приведена на рис.1.4.
Рисунок 1.4 – Графическая интерпретация нахождения корней функции y f ( x ) методом Ньютона
В качестве начального приближения в зависимости от свойств функции
15
берется
или левый конец интервала [a,b], т.е. x0=a если f (a) f |
|
(x) 0 |
или правый конец интервала [a,b], т.е. x0=b если f (b) f |
|
(x) 0 |
|
т.е. итерации сходятся к корню с той стороны, с которой |
|
f (x) f (x ) 0 |
|
Рисунок 1.5
Далее строится касательная к кривой y f ( x ) в точке x0 , т.е. кривая
заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение аргумента не станет меньше заданной величины
16
Выведем расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой ВС возьмем участок АВ – касательную, проведенную в точке ( x0 , f (x0) ). Для
этого отрезка справедливо конечное соотношение
f (x0) 0 |
f (x0) tg , |
|
x0 x1 |
||
|
Решая соотношение (4.1) относительно x1 , получим
f (x )
x1 x0 f (x0 ) .
0
В общем виде выражение (4.2) будет иметь вид
f (x )
xk 1 xk f (xk ) .
k
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Достоинства метода – это один из самых быстро сходящихся методов. Там, где при использовании метода бисекции выполняется 20 итерации, методом Ньютона достаточно выполнить 2 – 3 итерации.
Недостатки метода – жесткие требования к функции, перечисленные выше. Кроме того, необходимо вычисление не только функции, но и ее производной, что увеличивает трудоемкость расчетов.
Пример
Методом Ньютона (касательных) уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.
= 4 + 2 3 − − 1 = 0
Решение:
1. Проверяем существование второй производной f (x) на интервале
0,1
// = 12 2 + 12
На всем интервале 0,1 // > 0 следовательно график функции в этом интервале выпуклый вверх.
2. На интервале 0,1 проверяем условие f (x) 0
/ = 4 3 + 6 2 − 1;
Находим корни уравнения 4 3 + 6 2 − 1 = 0 с помощью команды
Mathcad
17
где: d - корень уравнения 4 3 + 6 2 − 1 = 0;
root - встроенная функция Matcad позволяющая определять корни уравнений;
x - переменная функции;
0,1 - интервал на котором определяются корни.
Так как первая производная f (x) 0при x=0.366, то уточнять значение корня f (x) будем или на интервале [0.366;1], или [0;0.366].
|
|
|
|
|
3. Проверяем знакопостоянство f ( x ) и |
f ( x ) на интервале 0,1 . |
|||
f |
|
x ϵ [0; 0.366] ; |
|
|
(x) 0, |
|
|
||
f |
|
x ϵ [0.366; 1] ; |
|
|
(x) 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
f (x) 0, x ϵ [0; 1]. |
|
|
||
|
Следовательно уточнять корни будем на интервале [0.366; 1] с правого |
|||
|
конца интервала, так как f (1) |
|
0 |
|
|
f (x) |
Воспользуемся формулой
1 = 14 + 2 13 − 1 − 1 = 1
/ 1 =4*1+6*1-1 =9
(1)
1 = 1 − /(1) = 0,8888
0,8888 = 0,88884 + 2 0,88883 − 0,8888 − 1 = 0,14007/ 0,8888 = 4 0,8888 + 6 0,8888 − 1 = 0,65500
(0,8888)
2 = 0,8888 − /(0,8888) = 0,8675= 2 − 1 = 0,8888 − 0,8675 = 0,02138
0,8675 = 0,86754 + 2 0,86753 − 0,8675 − 1 = 0,0045/ 0,8675 = 4 0,8675 + 6 0,8675 − 1 = 6,1267
(0,8675)
3 = 0,8675 − /(0,8675) = 0,8667
= 3 − 2 = 0,8667 − 0,8675 = 0,00074 < 0,001
18
Интерполирование
Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых.
Интерполя́ция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
К интерполяционным методам можно отнести: кусочно-постоянную, кусочно-линейную интерполяцию, кубический интерполяционный сплайн, интерполяционный многочлен Лагранжа.
Кусочно-постоянная интерполяция |
|
|
|
|||||
На каждом отрезке |
|
|
, интерполяционный многочлен равен константе, |
|||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
а именно левому или правому значению функции. |
|
|
|
|||||
Для левой кусочно-линейной интерполяции |
= |
, если |
≤ < , |
|||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
0 |
≤ < 1 |
|
|
|
||
= |
1, 1 |
≤ < 2 |
|
|
|
|||
|
… … … … … … … … |
|
|
|
||||
|
|
, |
|
≤ < |
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
Рисунок 2.1 Левая кусочно-постоянная интерполяция
Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.
= , если −1 ≤ <
19
1, 0 ≤ < 1
= 2, 1 ≤ < 2
… … … … … … … …
, −1 ≤ <
Рисунок 2.2 Правая кусочно-постоянная интерполяция
Пример
Интерполировать функцию используя кусочно-постоянную интерполяцию на интервале [0,5]
|
|
|
= 0.1 + 0.3 |
|
|
||
Таблица 2.1 Для левой кусочно-линейной интерполяции |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Узел |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
1.4499 |
2.0221 |
2.7596 |
|
3.7500 |
4.9817 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервал |
[0,1] |
[1,2] |
[2,3] |
[3,4] |
|
[4,5] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 Для правой кусочно-линейной интерполяции |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Узел |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
1 |
1.4499 |
2.0221 |
2.7596 |
|
3.7500 |
4.9817 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервал |
|
[0,1] |
[1,2] |
[2,3] |
|
[3,4] |
[4,5] |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кусочно-линейная интерполяция
На каждом интервале −1, функция является линейной ( ) = + .
20