1. Определение вектора, длины вектора

 Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.

Длина-направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора

2. Определение Нулевого вектора

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

3. Определение ортов

Ортом или единичным вектором   называется вектор, модуль которого равен единице.

4. Определение компланарных и коллинеарных векторов

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами 

5. Определение суммы векторов

сумма векторов  а+b есть операция вычисления вектора c , все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b , то есть каждый элемент вектора c равен:

6. определение разности векторов

разность векторов a-b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:

7. Определение проекции вектора на ось

Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l

Проекцией вектора a на направление вектора b, называется число, равное величине проекции вектора a на ось проходящую через вектор b.

8. Определение разложения вектора по ортам

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Для любого вектора  , который лежит в плоскости  , имеет место следующее разложение:

Если вектор  расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 

9. Длина вектора в координатной форме

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB

10. Сумма и разность векторов в координатной форме

 Сумма и разность векторов для плоских задач a = {ax ; ay} и b = {bx ; by}

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y}

a - b = {a_x - b_x; a_y - b_y}

Сумма и разность векторов для пространственных задач a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz}

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

a - b = {a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z}

11. равенство векторов в координатной форме

Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении.

12. Коллинеарность векторов в координатной форме

1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны

3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

a × b==i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =

 i (a_yna_z - a_zna_y) - j (a_xna_z - a_zna_x) + k (a_xna_y - a_yna_x) = 0i + 0j + 0k = 0

13. определение радиус-вектора точки

радиус-вектором r точки М называется вектор, соединяющий начало координат О с этой точкой.

14. Опр. Скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

15. Вычисление скалярного произведения в координатной форме

a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z}= а · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

16. условия перпендикулярности двух векторов в векторной и координатной форме

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° градусам

17. Формула вычисления угла между двумя векторами

18. Определения векторного произведения векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов

19. Вычисление векторного произведения в координатной форме

20. Геометрический смысл векторного произведения

модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах

21. Определения смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c

22. Вычисление Смешанного произведения в координатной форме

a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

23. Геометрический смысл смешанного произведения

если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если ,  и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

24. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

25. Общее уравнение плоскости

26. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты в общем уравнении плоскости?

27. Частные случаи общего уравнения плоскости.

  1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

28. Уравнения плоскости проходящей через три данные точки

29. Угол между двумя плоскостями

угол между плоскостями равен углу образованному прямыми лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

30. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

• В случае перпендикулярности двух плоскостей

Угол между ними 90°(cos a=0)

• В случае параллельности плоскостей

параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы  и  параллельны:

31. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

32. Канонические уравнения прямой

Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку  и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида

.

33. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты, входящие в канонические уравнения прямой?

34. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

- координаты точек

35. Параметрические уравнения прямой в пространстве

-фиксированная точка лежащая на прямой;

-направляющий вектор.

36. Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым

37. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

Условие перпендикулярности двух прямых (6) имеет вид

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0.

38. Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

sin φ =	| A · l + B · m + C · n |
	√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

39. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

• В случае параллельности прямой и плоскости

угол между ними равен 0, следовательно

• В случае перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости

40. Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

• прямая лежит в плоскости;

• прямая параллельна плоскости;

• прямая пересекает плоскость.